曲線近似から共分散行列を解釈するにはどうすればよいですか？

私は統計があまり得意ではないので、これが単純な質問であればおifびします。一部のデータに曲線を当てはめていますが、データがの形の負の指数関数に最適な場合があり、a ∗ e （− b ∗ x 2）に近い場合があります+ C。ただし、これらの両方が失敗する場合があり、線形フィットにフォールバックしたいと思います。私の質問は、どのモデルが特定のデータセットに最も適合するかを、結果の分散共分散行列から最適に決定する方法です。$a * e^{(-b * x)} + c$$a * e^{(-b * x^2)} + c$scipy.optimize.curve_fit（）関数？分散はこの行列の対角線の1つにあると思いますが、どのように解釈するのかわかりません。

更新：同様の質問に基づいて、分散共分散行列が、3つのモデルのうちどれがデータに最も適合するかを教えてくれることを期待しています（これら3つのモデルの1つに多くのデータセットを適合させようとしています）。

結果の行列は、指定された例では次のようになります。

pcov_lin 
[[  2.02186921e-05  -2.02186920e-04]
 [ -2.02186920e-04   2.76322124e-03]]
pcov_exp
[[  9.05390292e+00  -7.76201283e-02  -9.20475334e+00]
 [ -7.76201283e-02   6.69727245e-04   7.90218415e-02]
 [ -9.20475334e+00   7.90218415e-02   9.36160310e+00]]
pcov_exp_2 
[[  1.38338049e-03  -7.39204594e-07  -7.81208814e-04]
 [ -7.39204594e-07   8.99295434e-09   1.92970700e-06]
 [ -7.81208814e-04   1.92970700e-06   9.14746758e-04]]

ここに私がやっていることの例があります：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sp
import scipy.optimize

def exp_func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

def exp_squared_func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x*x*x) + c

def linear_func(x, a, b):
    return a*x + b

def main():
    x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], np.float)
    y = np.array([1, 1, 1, 1, 0.805621, 0.798992, 0.84231, 0.728796, 0.819471, 0.570414, 0.355124, 0.276447, 0.159058, 0.0762189, 0.0167807, 0.0118647, 0.000319948, 0.00118267, 0, 0, 0], np.float)

    p0 = [0.7746042467213462, 0.10347274384077858, -0.016253458007293588]
    popt_lin, pcov_lin      = scipy.optimize.curve_fit(linear_func, x, y)
    popt_exp, pcov_exp      = scipy.optimize.curve_fit(exp_func, x, y)
    popt_exp_2, pcov_exp_2  = scipy.optimize.curve_fit(exp_squared_func, x, y)

    plt.figure()
    plt.plot(x, y, 'ko', label="Original data")
    plt.plot(x, linear_func(x, *popt_lin), 'r-', label='linear')
    plt.plot(x, exp_func(x, *popt_exp), 'b-', label='exponential')
    plt.plot(x, exp_squared_func(x, *popt_exp_2), 'g-', label='exponential squared')
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    main()

明確化として、変数pcovfrom scipy.optimize.curve_fitはパラメーター推定値の推定共分散です。つまり、データとモデルが与えられた場合、そのモデルのパラメーターの値を決定するためにデータに含まれる情報の量です。そのため、選択したモデルが良いかどうかはわかりません。参照してくださいこれを。

良いモデルであるという問題は確かに難しい問題です。統計学者が主張したように

すべてのモデルが間違っていますが、いくつかは便利です

そのため、異なるモデルの比較で使用する基準は、何を達成したいかによって異なります。

たとえば、データに「できるだけ近い」曲線が必要な場合、最小の残差を与えるモデルを選択できます。あなたの場合、それは計算時に最も低い値を持つモデルfuncと推定パラメータになりますpopt

numpy.linalg.norm(y-func(x, *popt))

ただし、より多くのパラメーターを持つモデルを選択すると、モデルの複雑さが増しますが、残差は自動的に減少します。そのため、モデルの目標が何であるかに戻ります。