部分空間の標準正規分布

ましょう有するベクトル空間である。上の標準正規分布ランダムベクトルの法則であるの値をとるとの座標ようにいずれかで（のいずれかにおいて）正規直交基底ランダムベクトルであります製の独立した標準正規分布。 $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

この質問を読んでいるとき、私は次の質問を自分に問いました。LET上の標準正規分布である。ですがの条件付き分布は事実である与え上の標準正規分布である？ $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

二乗ノルムのカイ二乗分布有し。したがって、これが真実であれば、それは@Arghaの主張を説明することになります。 ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

LaTeXのタイプが間違っていると申し訳ありませんが、LaTeXのレンダリングが表示されません:(

編集01/10/2012：わかりました。書き込み $y=u+v$ の直交decompostion $y$ における $U\oplus U^\perp$ 。次に、

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ ます。これは、

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ ます。これは少しヒューリスティックですが、道徳的に正しいです。最後に、

P_{U} Y

$P_U Y$ が

標準法線であることは定義から明らか

U

$U$ です。

normal-distribution conditioning

— ステファンローラン
ソース

正規直交基底は、正規直交基底を拡張することによって常に構築できることに気付いたとき、これはひどく明白ではありませんか？（1つの証明：正規直交であろうとなかろうと、任意の拡張子でGram-Schmidtを使用します。）これに基づいて、PDFは分離可能であり、Fortioriは、QEDの標準法線です。

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber答えを詳しく説明してください。どのようにして条件付き分布を導き出しますか？

— ステファン・ローラン

あなたはそれを見るだけです！絶対連続PDFがとしてれる場合、（a）とは独立しており、（b）とは条件付き分布です。

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber仕事から帰ってきたところです。これについては後で考えます。ありがとう。もちろんこれは明白だと思いますが、私は疲れています。

— ステファン・ローラン

はい。が部分空間であることがます。LETと上の直交射影行列であるように、対称と冪等です。次に、です。これは、特異空間正規分布であり、部分空間では、その部分空間の標準正規分布です。特異分布として、体積測定に関しては密度がありませんが、（低濃度の）体積測定に関しては密度があります。 $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
ソース

がと同じ法則が条件とすることをどこで証明するのかわかりませんか？

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— ステファン・ローラン

抽象的には、条件付き確率（実際には線形空間を得るための期待...）は予測です。したがって、が線形部分空間である場合、での条件付けは、投影と同じです。

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen 2012

申し訳ありませんが、あなたの主張は意味がありません。

— ステファン・ローラン

それは直感であり、証明はおそらく異なるはずです。私は今では時間切れですが、多変量正規分布は、の成分のすべての線形結合の（正規）分布を指定することによって指定できることに注意してください。共分散行列が射影である場合、正規直交基底としてを選択します。はと書くことができます。線形結合の係数として選択すると、分散が1であることがわかります。係数としてに直交する長さ1のベクトルを選択すると、分散がゼロになります。

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

分布ので内標準法線と一致の条件付き分布であり、所与。

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen 2012