ランダム変数 $Y = \frac{e^{X}}{1 + e^{X}}$ と私はを知っています。 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

を計算する方法はありますか？私は積分を計算しようとしましたが、あまり進歩していません。可能ですか？ $\mathbb{E}(Y)$

logistic normal-distribution expected-value

— ヘンリー
ソース

どうやら、分析ソリューションは知られていない。：知られている近似は、この数学のstackexchangeリンクに与えられているmath.stackexchange.com/questions/207861/...

— Greenparker

もし、次いで、いずれかのために、。

μ = 0

$\mu = 0$

E [Y] = \frac{1}{2}

$E[Y] = \frac12$

σ

$\sigma$

— wolfies

@wolfiesそのソース/派生を教えてもらえますか？

— Greenparker 2018年

分布@Greenparker

対称の周りで

その場合にQED。

Y - 1 / 2

$Y-1/2$

0

$0$

— whuber

......（I）の場合：私は象徴的mathStatica / Mathematicaを使ったワンライナーとしてそれをやった...しかし、それはそうでなければならない理由を知るための簡単な方法

その、その後、 pdfは0を中心に対称です。（ii）変換

考えます。

X \sim N (0, σ^{2})

$X \sim N(0,\sigma^2)$

。その場合、

は

を中心とした対称S字型の曲線であり、E [Z]は0に等しくなければならない（対称性による）。以降

Z = Y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \tanh (x / 2)

$Z = Y-\frac12 = \frac12 \tanh(x/2)$

Z

$Z$

X = 0

$X = 0$

、

Y = Z + \frac{1}{2}

$Y = Z + \frac12$

E [Y] = \frac{1}{2}

$E[Y] = \frac12$

— ウルフィー2018年

@Martijnによる質問のコメントと回答ですでに述べたように、を与える特別な場合を除いて、 $E(Y)$ 分析解はないようです。 $\mu = 0$ $E(Y) = 0.5$

さらに、ジェンセンの不等式によって、場合は $E(Y) = E(f(X)) < f(E(X))$ あり、逆に場合。ので、 $\mu > 0$ $E(Y) = E(f(X)) > f(E(X))$ $\mu < 0$ $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$ 凸とき $x < 0$ と凹部とき $x > 0$ 、正常濃度塊の大部分がの値に応じて、それらの領域にあるであろう $\mu$ 。

$E(Y)$ を概算する方法はたくさんあります。私がよく知っているいくつかの方法を詳しく説明し、最後にRコードを含めました。

サンプリング

これは理解/実装が非常に簡単です。

E (Y) = \int_{\infty}^{\infty} f (x) N (x | μ, σ^{2}) d x \approx \frac{1}{n} Σ_{i = 1}^{n} f (x_{i} ）

$E(Y) = \int_\infty^\infty f(x) \mathcal{N}(x|\mu, \sigma^2) dx \approx \frac{1}{n} \Sigma_{i = 1}^{n}f(x_i)$

我々は、サンプル描くところ $x_1, \ldots, x_n$ から $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 。

数値積分

これには、上記の積分を近似する多くの方法が含まれます。コードでは、適応求積法を使用するRの積分関数を使用しました。

無香の変形

たとえば、エリックA.ワンとルドルフファンデルメルウェによる非線形推定のための無香料カルマンフィルターを参照してください。

無香変換（UT）は、非線形変換を受ける確率変数の統計を計算する方法です。

この方法では、少数の「シグマポイント」を計算し、それを $f$ で変換して加重平均をとります。これは、ランダムに多数のポイントをサンプリングし、それらを $f$ で変換して平均を取ることとは対照的です。

この方法は、ランダムサンプリングよりもはるかに計算効率が高くなります。残念ながら、オンラインでRの実装を見つけることができなかったので、以下のコードには含めていません。

コード

次のコードは、 $\mu$ 値が異なり、 $\sigma$ 固定されたデータを作成します。その出力f_muである $f(E(X))$ との近似値 $E(Y) = E(f(X))$ を介して、samplingおよびintegration。

integrate_approx <- function(mu, sigma) {
    f <- function(x) {
        plogis(x) * dnorm(x, mu, sigma)
    }
    int <- integrate(f, lower = -Inf, upper = Inf)
    int$value
}

sampling_approx <- function(mu, sigma, n = 1e6) {
    x <- rnorm(n, mu, sigma)
    mean(plogis(x))
}

mu <- seq(-2.0, 2.0, by = 0.5)

data <- data.frame(mu = mu,
                   sigma = 3.14,
                   f_mu = plogis(mu),
                   sampling = NA,
                   integration = NA)

for (i in seq_len(nrow(data))) {
    mu <- data$mu[i]
sigma <- data$sigma[i]
    data$sampling[i] <- sampling_approx(mu, sigma)
data$integration[i] <- integrate_approx(mu, sigma)
}

出力：

    mu sigma      f_mu  sampling integration
1 -2.0  3.14 0.1192029 0.2891102   0.2892540
2 -1.5  3.14 0.1824255 0.3382486   0.3384099
3 -1.0  3.14 0.2689414 0.3902008   0.3905315
4 -0.5  3.14 0.3775407 0.4450018   0.4447307
5  0.0  3.14 0.5000000 0.4999657   0.5000000
6  0.5  3.14 0.6224593 0.5553955   0.5552693
7  1.0  3.14 0.7310586 0.6088106   0.6094685
8  1.5  3.14 0.8175745 0.6613919   0.6615901
9  2.0  3.14 0.8807971 0.7105594   0.7107460

編集

私は実際には、Pythonパッケージfilterpyで無香変換を使用するのが簡単であることがわかりました（実際には、最初から実装するのは非常に迅速ですが）。

import filterpy.kalman as fp
import numpy as np
import pandas as pd


def sigmoid(x):
    return 1.0 / (1.0 + np.exp(-x))


m = 9
n = 1
z = 1_000_000
alpha = 1e-3
beta = 2.0
kappa = 0.0
means = np.linspace(-2.0, 2.0, m)
sigma = 3.14
points = fp.MerweScaledSigmaPoints(n, alpha, beta, kappa)
ut = np.empty_like(means)
sampling = np.empty_like(means)

for i, mean in enumerate(means):
    sigmas = points.sigma_points(mean, sigma**2)
    trans_sigmas = sigmoid(sigmas)
    ut[i], _ = fp.unscented_transform(trans_sigmas, points.Wm, points.Wc)

    x = np.random.normal(mean, sigma, z)
    sampling[i] = np.mean(sigmoid(x))

print(pd.DataFrame({"mu": means,
                    "sigma": sigma,
                    "ut": ut,
                    "sampling": sampling}))

出力：

    mu  sigma        ut  sampling
0 -2.0   3.14  0.513402  0.288771
1 -1.5   3.14  0.649426  0.338220
2 -1.0   3.14  0.716851  0.390582
3 -0.5   3.14  0.661284  0.444856
4  0.0   3.14  0.500000  0.500382
5  0.5   3.14  0.338716  0.555246
6  1.0   3.14  0.283149  0.609282
7  1.5   3.14  0.350574  0.662106
8  2.0   3.14  0.486598  0.710284

$\mu$ $\sigma$ $Y = f(X)$

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.random.normal(means[0], sigma, z)
plt.hist(sigmoid(x), bins=50)
plt.title("mu = {}, sigma = {}".format(means[0], sigma))
plt.xlabel("f(x)")
plt.show()

$\sigma$

— ジェフ
ソース

$Y$

これらのディストリビューションの詳細については、無料で入手できる記事（Atchison、J.、およびSheng M. Shen）を参照してください。「ロジスティック正規分布：いくつかの特性と用途。」Biometrika 67.2（1980）：261-272。

そのテキストでは、モーメントの制限、近似、または振る舞いに関する表現はありません（それらが存在することを言及している場合を除きます）。ただし、多変量ロジスティック正規分布変数の2つのコンポーネントの比率の期待値の式は引き続き使用されます。

— Sextus Empiricus
ソース

正規確率変数の逆ロジットの期待

サンプリング

数値積分

無香の変形

コード

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