なぜ、二重確率行列Pを持つ有限の既約で非周期的なマルコフ連鎖が一様な制限分布を持つのですか？

定理は、「有限状態空間Sの既約マルコフ連鎖の遷移行列が二重確率的である場合、その（一意の）不変測度はSにわたって均一です」です。

マルコフ連鎖に二重確率遷移行列がある場合、その制限確率が一様分布を構成することを読みましたが、その理由はよくわかりません。

私はこれを理解できる証拠を考え出して見つけようとしています。しかし、ここでの命題15.5のように、理解できない細部にわたってすべての光沢を見つけた証拠（[1、... 1]ベクトルを使用するだけでうまくいくのはなぜですか？）シンプル/詳細な証明？

（学校で提出するものの一部ではありませんが、受講するコースの一部なので、どちらの場合も宿題のタグを付けると思います。）

probability self-study markov-process

— クリスチャン・ネバーダル
ソース

ペロン・フロベニウス。

— 枢機卿

@cardinal少し工夫して答えにしてみませんか？

— Michael R.

マルコフ連鎖が既約でなく周期的でないという必要な条件がありません。これらは、いくつかの

、

すべてのエントリが正であるという条件に組み合わせることができます。有限数があるので、すべてが少なくとも

であると言い

。収束率は

で制限でき

。

n

$n$

P^{n}

$P^n$

c

$c$

c

$c$

— Douglas Zare 2012

あなたは正しい、ダグラス。混乱を避けるために、リンクされたPDFの提案を逐語的にコピーしました。ありがとう。

— Christian Neverdal 2012

我々が持っていると仮定の状態がで、-state既約および非周期的マルコフ連鎖、、すなわち、（二重確率的遷移行列を用いて、すべての）。その後、極限分布は、 $M+1$ $m_j$ $j=0,1,\ldots, M$ $\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ $j$ 。 $\pi_j=\frac{1}{M+1}$

証明

ことを最初の音符ある一意の解および。 $\pi_j$ $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$ $\sum_{i=0}^M\pi_i=1$

試し。これは、得られる（マトリックスが二重に確率論的であるために）。したがって式の最初のセットを解決する、そしてそれで割ることにより、第2正規化するために溶液にするために。 $\pi_i=1$ $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ $\pi_i=1$ $M+1$

一意性により、。 $\pi_j=\frac{1}{M+1}$

— ハイパーキューブ
ソース

ν

$\nu$

ν P = ν

$\nu P=\nu$

P

$P$

[1, \dots, 1] P = [1, \dots, 1]

$[1,\cdots,1]P=[1,\cdots,1]$