Gaussian RBFカーネルに有限次元の特徴空間がないことを証明する方法は？

動径基底関数k （x 、y ）= exp （− | | x − y | | 2）に対してそれを証明する方法$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$いかなる有限次元の特徴空間がない$H$一部のように、$\Phi: \text{R}^n \to H$我々は？$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

ムーア・Aronszajn定理対称正定値カーネルがユニークな再生核ヒルベルト空間に関連付けられていることを保証します。（RKHSは一意ですが、マッピング自体は一意ではありません。）

したがって、ガウスカーネル（またはRBF）に対応する無限次元RKHSを提示することで、質問に答えることができます。この詳細な研究は、「ガウスRBFカーネルのカーネルヒルベルト空間の再現に関する明示的な説明」、Steinwart et al。

ガウスRBFカーネルは、ドメインX × Xで定義され、Xには無限の数のベクトルが含まれていると仮定します。一つは、（証明することができ、彼らはフルランクである理由ガウスカーネルを、？ ）の異なるベクターのいずれかのセットのためにというxは1を、。。。、xは、mは ∈ X行列（kは（X I、X J））、M × M X 1）、。$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$た手段、特異ないというベクトルは線形独立です。したがって、カーネル kの特徴空間 Hは有限数の次元を持つことはできません。$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$