不十分な統計からの効率的な推定量

統計があり、パラメーターを推定するだけでは十分でないことが確かにわかっているとします。 $T(X)$ $\theta$

（凸状損失の下で）効率的な推定量ことはまだ可能ですか、それとも不可能であるとする定理（逆Rao-Blackwellのようなもの）がありますか？ $\hat\theta(T(X))$

バイアスをかけない推定器または平均二乗誤差のCRLBを達成するという効率の定義のもとで質問に答えるか、実際の線で平均化された二乗平均誤差、またはそれが質問に答えるのに適した他のパフォーマンス測定に役立つ場合があります。

estimators sufficient-statistics efficiency

私が理解している限りでは、効率性は一貫性の後に発揮されます。一貫した推定量がある場合は、その推定量が対象のパラメーター（効率）にどれだけ速く収束するかを知りたいと考えています。したがって、十分ではない一貫した推定量があるかどうかも質問できると思います。

— StubbornAtom

@StubbornAtom私は非指数関数的ファミリーからのパラメーターの最尤推定を考えていました。それらは十分ではありませんが、漸近的に一貫しており、おそらく効率的です。ただし、無限のデータが含まれると、状況が異なる場合があります。

— Cagdas Ozgenc

まったくそうではありません。家族非指数関数的です。ただし、この分布から抽出されたサイズサンプルの場合、は、十分な統計量であり、一貫した推定量です。

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

n

$n$

{\hat{θ}}_{MLE} = max_{1 \leq i \leq n} X_{i}

$\hat\theta_{\text{MLE}}=\max_{1\le i\le n} X_i$

θ

$\theta$

— StubbornAtom

@StubbornAtomこれはサポートケースの変化です（ピットマンコープマンの定理の例外です）。あなたは私のコメントの要点を逃しました。基本的にそれは常に当てはまるわけではありません。

— Cagdas Ozgenc

考えてみてください。コーシー分布から抽出されたサイズサンプルの場合、中央値などの一部の変位値は一貫した推定量です。ただし、十分な統計の唯一のセットは、サンプル自体または注文統計の完全なセットです。しかし、この場合、サンプルの中央値は非効率的だと私は思います。（関連：stats.stackexchange.com/questions/373526/…）。

n

$n$

(θ, 1)

$(\theta,1)$

θ

$\theta$

— StubbornAtom

[その存在を前提として]最小の十分な統計量はサンプル関数なので、は効率的な推定量はと書くことができるため、質問が理解しにくくなります。 $S_n$ $(X_1,\ldots,X_n)$

S_{ん} = S_{ん} （ {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{ん} ）

$S_n=S_n(X_1,\ldots,X_n)$

\hat{θ} (S)

$\hat{\theta}(S)$

\hat{θ} （ S （ {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{ん} ） ）

$\hat{\theta}(S(X_1,\ldots,X_n))$

Cramèr-Raoの下限は、指数ファミリーの設定における自然パラメーターの効率的な推定量によってのみ達成され、均一な最小分散不偏推定量がない多くの場合が存在することに注意してください。

また、指数関数的ファミリーの外では、許容可能な推定量では十分ではないことにも注意してください。

— 西安
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