ガウスコピュラからシミュレートする方法は？

$F$ とような2つの単変量周辺分布があり $G$ 、そこからシミュレートできると仮定します。ここで、で表されるガウスコピュラを使用してそれらの結合分布を構築します。すべてのパラメーターは既知です。 $C(F,G;\Sigma)$

このコピュラからシミュレートするための非MCMCメソッドはありますか？

normal-distribution simulation copula

— ティロ
ソース

仮定すると、

ために

当然のことながら、：生成する

。

と

取る。全部できた。

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— 枢機

Rには、「copula」と呼ばれるパッケージもあり、ほとんどの標準コピュラをシミュレートできます。

— 半盲

多変量正規分布とガウスコピュラの定義に基づいたガウスコピュラからシミュレートする非常に簡単な方法があります。

まず、必要な定義と多変量正規分布のプロパティを提供し、次にガウスコピュラを提供します。次に、ガウスコピュラからシミュレートするアルゴリズムを提供します。

多変量正規分布
Aランダムベクトル有する多変量正規分布の場合であるの独立した標準正規確率変数の次元ベクトルは、あります次元の定数ベクトルは定数の行列です。表記 $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ は分布の等式を示します。したがって、

各コンポーネント

X

$X$ は、本質的に独立した標準正規確率変数の加重和です。
平均ベクトルと共分散行列の性質から、我々は持っている

と

と、

自然な表記につながる、

。

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

ガウスコピュラガウスコピュラはつまり、多変量正規分布から暗黙的に定義され、ガウスコピュラは、多変量正規分布に関連付けコピュラです。具体的には、よりスクラーの定理ガウスコピュラは、ここで、

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$ 標準正規分布関数であり、

相関行列P.だからと多変量標準正規分布関数であり、ガウスコピュラは、単に標準の多変量正規分布である確率積分変換、各マージンに適用されます。

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

シミュレーションアルゴリズム
上記の観点から、ガウスコピュラからシミュレートする自然なアプローチは、適切な相関行列を使用して多変量標準正規分布からシミュレートし、標準正規分布関数で確率積分変換を使用して各マージンを変換することです。共分散行列を使用した多変量正規分布からのシミュレーションでは、本質的に独立した標準正規ランダム変数の加重和を計算します。ここで、「重み」行列は共分散行列コレスキー分解によって取得できます。 $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

したがって、相関行列持つガウスコピュラからサンプルをシミュレートするアルゴリズムは次のとおりです。 $n$ $P$

コレスキー分解を実行し、を結果の下三角行列として設定します。 $P$ $A$
次の手順を回繰り返します。
1. 独立した標準正規変量のベクトルを生成します。 $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. 設定 $X = AZ$
3. $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

Rを使用したこのアルゴリズムの実装例の次のコード：

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

次のグラフは、上記のRコードから得られたデータを示しています。

enter image description here

— QuantIbex
ソース

その後、FとGはどこに表示されますか？

— lcrmorin

@Were_cat、どういう意味ですか？

— QuantIbex

元の質問には、2つの単変量分布であるFとGの記述があります。FとGマージンを使用して、コピュラからrvにどのように進みますか

— lcrmorin

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

@Were_cat、ウィキペディアのコピュラページを引用すると、「コピュラは、各変数の周辺確率分布が均一な多変量確率分布です。コピュラは、ランダム変数間の依存関係を記述するために使用されます。」

— QuantIbex