交換可能なRVの製品は交換可能ですか？

8

仮定するおよびは、コンポーネントとしてバイナリRVを持つ2つのランダム変数です（したがって、）と両方（および）は交換可能です。つまり、

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

そして

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ すべての順列。

σ

$\sigma$

私の質問は、が交換可能であるかどうかです。 $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$

あるいは、を交換可能にするために必要な仮定はどのように異なるのか？ $Z$

bayesian exchangeability

— セバスチャン
ソース

質問に少なくとも1つの誤植があるようです。本当にの最後のコンポーネントが "？"であることを意味しますか？表記は不透明です：はバイナリコンポーネントを含むランダム変数であり、はコンポーネントがバイナリベクトルのバイナリ関数であるランダム変数であると主張していますか？問題をこのように抽象的に述べると、（1）すべてを正確に理解することが重要であり、（2）代わりに数学のサイトに投稿することを検討する必要があります。

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

これを指摘してくれてありがとう。表記を明確にします

— セバスチャン

6

製品は交換可能である必要はありません。 次の反例は、何がうまくいかない可能性があるのか、またその理由を示しています。

私たちは、共同分布を指定しますのとの、これらの二変量確率変数のそれぞれが独立していると仮定します。したがって、は、それらが同じように分散されていれば、と同様に交換可能ですすべての変数はベルヌーイ変数になります。定義上、確率はセット集中し $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

LET及びのために $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

限界分布はすべてベルヌーイため、限界交換可能性の仮定が成り立ちます。しかし、ここで、およびと計算して、製品の分布が異なる（したがって、交換できない）ことを示します。 $(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

これは、共同分布が重要であることを示しています。

ただし、共同分布は異なる可能性がありますが、製品は交換可能であるため、製品交換可能性の十分な条件であるにもかかわらず、2変量確率変数交換可能性は必要条件はありません。 $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

この例は、値を持つ3値変数によって与えられますたとえば、次の確率を考えます。 $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

そして

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

それの周辺分布することを確認することは簡単である等しい確率割り当てるにの周辺分布確率ベクトル有するその分布は分布と同じただし、分布は異なることに注意してください。 $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

したがって、は交換可能、は交換可能、は交換可能ですが、は交換できません。 $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
ソース

2

特許試料空間はそのための3つの等しくありそうoutomesから成ると仮定値をとる及びそのための値をとります次に、は交換可能で、も交換可能。しかし、の対応する値はなので、明らかには交換可能。 $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— ジャール・タフト
ソース