ガンマ分布の対数の期待値は何ですか？

$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$の期待値が$\frac{\alpha}{\beta}$、$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$の期待値は？分析的に計算できますか？

私が使用しているパラメータ化は、形状率です。

これは（たぶん意外かもしれませんが）簡単な基本操作（Richard Feynmanの、パラメーターに関して積分記号で微分するというお気に入りのトリックを使用）で実行できます。

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私たちは、想定されている$X$持つ$\Gamma(\alpha,\beta)$分布を、我々はの期待見つけたい$Y=\log(X).$ ので、まず、$\beta$スケールパラメータで、その効果はすることになりますシフトによって対数を$\log\beta.$ （あなたが使用している場合は$\beta$としてレートパラメータ、問題のように、それはで対数をシフトする$-\log\beta.$）これは、ケースとの仕事に私たちを許可$\beta=1.$

この単純化の後、$X$の確率要素は

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

ここで、$\Gamma(\alpha)$は正規化定数です

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

置換$x=e^y,$伴う$\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$確率要素与える$Y$、

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

$Y$$\mathbb{R}.$

$f_Y$

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

$f_Y(y)$$\alpha.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

$\Gamma(\alpha),$$y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

$(1).$

$\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

$x/\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

$x\beta$

@whuberの答えはとてもいいです。私は本質的に彼の答えを統計的理論と（私の意見では）より良く結びつき、そして全体的な技術の力を明らかにするより一般的な形で言い直します。

$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

$\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$