自信を持って公平性を評価するために、ダイスを何回振る必要がありますか？

（統計的言語ではなく、素人の言語を使用したことに対する事前の謝罪。）

特定の物理的な6面ダイスの各面を約+/- 2％以内に確実に合理的に自信を持ってロールするオッズを測定したい場合、サンプルダイスロールはいくつ必要ですか？

すなわち、それぞれの結果を数えてダイスを振る必要がある回数は、それが各サイドを振る可能性が14.6％-18.7％以内であることを98％確信するために必要ですか？（または、ダイが2％以内で公平であると約98％確信するような類似の基準）

（これは、シミュレーションゲームは、サイコロを使用してください特定のサイコロのデザインになりたいために、実世界の関心事である許容可能な近接数を転がすの1/6機会にしている。があります主張、多くの一般的なサイコロの設計はで29％1つのローリングに測定されていることがそのようなサイコロをそれぞれ1000回転がします。）

TL; DR：もし$p$ = 1/6と、あなたはどのように大規模知りたい$n$必ずサイコロは（内2％）公正で、ニーズは98％であることを$n$以上であることが必要である$n$ ≥766。

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してみましょう$n$ロールの数となる$X$いくつかの指定された側の土地そのロールの数。次に、$X$はBinomial（n、p）分布に従います。ここで、$p$は指定された辺を取得する確率です。

中心極限定理により、

$$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$$

以来、$X/n$の試料の平均である$n$ベルヌーイ$(p)$ランダム変数。したがって、$n$が大きい場合、$p$信頼区間は次のように構築できます。

$$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

以来$p$不明で、私たちはサンプルの平均に置き換えることができ、P = X / N、各種収束定理により、我々は結果の信頼区間は漸近的に有効になります知っています。したがって、次の形式の信頼区間を取得します。$\hat{p} = X/n$

$$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

P = X / N。Zスコアが何であるかを知っていると仮定します。たとえば、95％の信頼区間が必要な場合、Z = 1.96を使用します。したがって、所定の信頼レベルαに対して、$\hat{p} = X/n$$Z$$Z=1.96$$\alpha$

$$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

さて、あなたは、この信頼区間は以下の長さのものにしたいとしましょう$C_\alpha$、私たちはこのケースを作成する必要がどのように大きなAサンプル知りたいです。さて、これは何を尋ねるとequivelantで$n_\alpha$を満足します

$$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$$

その後、取得するために解決されます

$$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$$

以下のためのあなたの値のプラグので、$Z_\alpha$、$C_\alpha$、推定pはの推定入手N αを。pは不明であるため、これは推定値にすぎませんが、漸近的に（nが大きくなるにつれて）正確であることに注意してください。$\hat{p}$$n_\alpha$$p$$n$