メジャー0で発生する2つのイベントのベイジアン更新方法は？

私の意味を説明するために、次の架空のシナリオを検討してください。

人の好きな数は、無原子密度関数ランダムに分布されます。$x\in[-1,1]$$f(x)$

さらに、この人が（自分の好きな数が何であるかを理解した後で）この好きな数の絶対値を呼び出すと仮定します。$x$$|x|$

オブザーバーとして、構造、つまり分布と人の行動を知っています。したがって、すると、その人の好きな数は0.5または-0.5であることがわかります。$x$$|x|=0.5$

しかし、ベイジアン更新者として、あなたは何を信じるべきですか？人のお気に入りの数が0.5である確率あると考えるのは理にかなっていますか

$$\mathbb{P}[x=0.5 \, |\, |x|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|x|=0.5 \,|\, x=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)} ?$$

あらゆる分布は、メジャー0のイベントの変化と（さまざまな意味で）同等であるため、私はそうは思わない。しかし、そのようなシナリオでは何をすべきですか？

私はそのような問題が経済理論（信号ゲーム）で発生するだろうと思ったでしょうが、私はこの問題を扱うリファレンスをまだ見つけていません（ここでの提案も大歓迎です）。

パラドックスは、ベイジアン推論の1つではなく、測定理論と条件付けの1つです（したがって、質問のタイトルを変更する必要があります）。アンドレイ・コルモゴロフを引用すると、

「確率が0である孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は許容されません。」

密度を定義すると $f$ 確率変数の $X$、それは確かに任意のセットのnull関数を含む任意のものにすることができます $A\subset(-1,1)$メジャーゼロの。しかし、私には、最も簡単な説明は、セットを選択できないことです$A$ 事後、それはかつて$X$ または $|X|$ であることが観察されています $x$、 そのため $x\in A$。実際の観察は$x$ （より正確には実際の実現 $x$ 確率変数の $X$）に属する確率がゼロ $A$。

設定時

$$\mathbb{P}[X=0.5 \, |\, |X|=0.5]=\frac{\mathbb{P}[|X|=0.5 \,|\, X=0.5] \, f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}=\frac{ f(0.5)}{f(0.5)+f(-0.5)}$$ （a）セットがメジャー0であるため、最初の等式はセットに対するベイズの公式の誤った適用であり、（b）メジャーゼロのセットの条件付け $\{\omega;|X(\omega)|=0.5\}$ 関数の値を設定することで、条件付き確率としてではなく、理解される $$\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|=x]$$ で $x=0.5$唯一の制約は条件付き期待値の定義であるため、一意に定義されていません。 $$\mathbb{P}[X=|X|]=\mathbb{E}\{\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X=|X|}||X|]\}$$