Aが[8,10]で均一に分布し、[9,11]でBが均一に分布している場合、B <Aである確率はどれくらいですか？

この質問はインタビューで聞かれましたが、最初は正しく答えられませんでしたが、私の解釈は正しいと思われます。問題は：

AとBの2つの配送トラックがあります。Aは午前8時から10時の間に配達を行い、Bは午前9時から11時の間に配達を行います。配送は両方に均一に分配されます。Bからの特定の配信がAからの配信の前に行われる確率はどのくらいですか？

あなたの答えは何ですか、そしてなぜですか？

1/8です。下の図を参照してください。x軸にAの納期、y軸にBの納期が表示されています。配信は均一に分散されるため、正方形内のすべてのポイントが等しく発生する可能性があります。BはAの前に陰影を付けた領域でのみ配信します。これは合計の1/8です。

別の見方をすると、AがBの開始前に配信する可能性は50％であり、Aが完了した後にBが配信する可能性は50％です。つまり、片方または両方が発生する可能性は75％です。25％の確率で、両方が重複する時間に配信する場合、50-50の確率で最初に配信されます。

配信レートが指定されていないため、Aが1時間あたりパッケージを配信し Bが1時間あたりのパッケージを配信すると仮定ます。したがって、の配信時間のペアがあります。配信時間内でAとBが重複するウィンドウにはペアしかなく半分はAがBの前にあります。したがって、AがBの前にくるペアの比率は $a$$b$$2a \cdot 2b$$a \cdot b$

もちろん、インタビュー中にPCがあった場合にのみ、別の見方を提案します。

Rたとえば、プロセスをシミュレーションできます。

Aからの1000の値とBからの1000の値をシミュレートしてみましょう。どちらも均一で、独立していることがわかります。

a <- runif(1000, 8, 10) # A deliveries
b <- runif(1000, 9, 11) # B deliveries
# [1] 9.485513 8.665070 8.488481 8.840332 8.755384 9.448949 # A deliveries for example

わかりました、正確には時間ではありませんが、同じです。

確率は私たちが求めるものです。したがって、コード内でであるペアの数を数えるだけです。$P(B<A)$$b<a$

prob <- sum(b < a)/1000
#[1] 0.112 # almost 1/8

1000ペアプロットして、Bが最初に来る領域を確認することもできます。$(a,b)$

plot(a, b)
polygon(c(9, 10, 10, 9),
        c(9, 9, 10, 9), density = 10, angle = 135)

prob上記の値は、シェーディングされた領域内のポイントの比率です（見慣れたように見えませんか？）。

これで、比率の標準誤差の式を使用して、シミュレーションの標準誤差を推定できます。

se <- sqrt(prob * (1 - prob) / 1000)
#[1] 0.009972763

そして、CIを構築できます（サンプル分布の正規近似を想定probs）。

prob - 1.96*se
#[1] 0.09245338 lower bound
prob + 1.96*se
#[1] 0.1315466 upper bound

これを偶然見つけ、それが私の頭の中にありました。:-)

答えは、可能性のあるオーバーラップの時間（9a-10a）に各トラックが行う配達の相対的な数に依存する必要があるようです-一定の答えはありません。

たとえば、各トラックが合計2回の配達（1時間に1回）を行うとします。彼らはそれぞれ9から10の間に1つの配信を行い、BはAから何も打ち負かしません。したがって、その場合の確率は0です。

両方が9-10aの間でしか配信を行わない問題の単純化されたバージョンを考えてみます（まだ均一な分布です）。そして、最初に、同じ数の配達を行うと仮定します。

• Bの最初の配信は、Aからの最初の配信（結びついている）を除くすべてに勝ります。したがって、確率（Bの最初の配信である確率）で、確率（最初の配信ではない確率）でイベントを打ちますA）の$\frac{1}{n}$$\frac{n-1}{n}$
• Bの2番目の配信は、Aからの最初の2つの配信を除くすべてに勝ります。したがって、確率で、確率イベントに勝ち$\frac{1}{n}$$\frac{n-2}{n}$
• 等

これらの各用語を要約すると、次のようになります。

$(\frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n}) + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n}) + ... + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n})$

または、

$\sum_{i=1}^{n} \frac{n-i}{n^2}$

確率は均一であり、それぞれの半分（切り捨て）は1時間のオーバーラップ中に発生するため、それぞれの半分の配信のみを考慮します。場合と、ドメイン全体に比べて、これらのイベントは、半分の時間が起こります。そう$n'=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n'} \frac{n'-i}{n'^2}$

私は場合、と思います。$a=b=n$$1/8$

AとBが同数のパッケージを提供しないという事実をどのように処理しますか？繰り返しますが、簡単にするために、すべての配達が午前9時から10時の間に発生すると仮定します。

上記のように、トラックAから少なく連続して配信するのではなく、最初から最後までのすべての配達について検討します（はトラックAによって行われた配達の数、は配達の数です））によって作成された場合、を削除します。つまり、あなたはすべてが、分数ビートの割合に比例しあなたが投げてきました。そう、$b$$\frac{1}{a}$$a$$b$$b$$\lfloor \frac{1}{b} \cdot a \rfloor$$a$$b$

$(\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor 1 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + (\frac{1}{b} \cdot \frac{n - \lfloor 2 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + ... + (\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor a \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a})$

または、

$\sum_{i=1}^{b} \frac{a - \lfloor \frac{ia}{b} \rfloor }{ab}$

繰り返しますが、それらは半分の時間しかオーバーラップしないという事実を考慮して、ととしましょう：$a'=\frac{a}{2}$$b'=\frac{b}{2}$

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{b'} \frac{a' - \lfloor \frac{ia'}{b'} \rfloor }{a'b'}$

ゼロです：

Bトラックに[9-11]の期間に少なくとも1つの配達がある場合、少なくとも1つの配達が10の後（またはに等しい）に行われます。

そしてその配達はAの配達の前ではありません（すべて10の前です）