分散と標準偏差の最適解はどの問題またはゲームですか？

与えられた確率変数（または母集団、または確率論的プロセス）の場合、数学的な期待が質問への答えです。。また、これはゲームの最適な解決策であり、確率変数（または母集団からの新しい描画）の次の実現を推測します。値に線形の非効用がある場合は、値と推測の間の距離の2乗で罰します罰の。中央値は、絶対損失の下での対応する質問に対する答えであり、モードは、「全か無か」の損失の下での答えです。

質問：分散と標準偏差は同様の質問に答えますか？彼らは何ですか？

この質問の動機は、中心的な傾向と広がりの基本的な指標を教えることにあります。中心的傾向の測定は上記の決定理論上の問題によって動機付けられますが、人はどのように拡散の測定を動機付けることができるのでしょうか。

質問が意図したとおりに理解されていれば、任意の分布（有限分散）を持つ任意の確率変数独立した実現を得ることができる設定を覚えています。「ゲーム」は、記述される関数とによって決定されます。次の手順とルールで構成されています。$X$$F$$\sigma^2(F)$$h$$\mathcal L$

1. 対戦相手（「自然」）が明らかにします$F.$

2. それに応じて、数値つまり「予測」を生成します。$t(F),$

ゲームの結果を評価するために、次の計算が実行されます。

• iid観測のサンプルは、かられます$n$$\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$$F.$

• 所定の関数がサンプルに適用され、「統計量」である数値生成されます。$h$$h(\mathbf{X}),$

• 「損失関数」 、「予測」を統計量 と比較して負でない数$\mathcal{L}$$t(F)$$h(\mathbf{X}),$$\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$

• ゲームの結果は予想損失（または「リスク」）

  $$R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$$

あなたの目的は、リスクを最小限に抑えるを指定することにより、ネイチャーの動きに対応することです。$t$

たとえば、関数あり、という形式の損失がある正の数、最適な移動はの期待値となるを選択します$h(X_1)=X_1$$\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$$\lambda,$$t(F)$$F.$

私たちの前の質問は、

存在しない及び最適な動きが選ぶされている分散ことが？$\mathcal{L}$$h$$t(F)$$\sigma^2(F)$

これは、差異を予想として示すことで簡単に答えられます。 1つの方法は、と規定し次損失を引き続き使用することです。 それを観察すると

この例では、このとこの分散に関する質問に答えていると結論付けることができます。$h$$\mathcal L$

標準偏差どうですか？繰り返しになりますが、これはサンプル統計の予想としてこれを示す必要があるだけです。しかし、それは、可能ではない、我々は限定場合でもためベルヌーイの家族にの分布我々は唯一の多項式関数の不偏推定量取得することができるしかしは、ドメイン多項式関数ではありません （SEE 二項分布について、理由のための不偏推定量の存在しない？この質問は、平均化した後に低減可能な二項分布に関する一般的な引数のために$\sigma(F)$$F$$(p)$$p,$$\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$$p\in (0,1).$1/phXi。$1/p$$h$すべての順列について）$X_i.$