2つの正規分布変数の比率、または1つの逆数をパラメーター化する方法は？

問題： ベイズのメタ分析で事前分布およびデータとして使用する分布をパラメーター化しています。データは文献で要約統計として提供されており、ほぼ独占的に正規分布していると想定されています（ただし、変数は0未満にはならず、一部は比率、一部は質量など）。

解決策がない2つのケースに遭遇しました。対象のパラメーターは、データの逆数または2つの変数の比率である場合があります。

例：

2つの正規分布変数の比率：
- データ：窒素と炭素の割合の平均とsd
- パラメーター：窒素と炭素の比率。
正規分布変数の逆：
- データ：質量/面積
- パラメーター：面積/質量

私の現在のアプローチは、シミュレーションを使用することです：

たとえば、平均xbar.n、c、分散：se.n、c、およびサンプルサイズ：nn、ncの炭素と窒素のパーセントデータのセットの場合：

set.seed(1)
per.c <- rnorm(100000, xbar.c, se.c*n.c) # percent C
per.n <- rnorm(100000, xbar.n, se.n*n.n) # percent N

ratio.cn = perc.c / perc.nをパラメーター化したい

# parameter of interest
ratio.cn <- perc.c / perc.n

次に、事前分布に対して範囲の最適な分布を選択します $0 \rightarrow \infty$

library(MASS)
dist.fig <- list()
for(dist.i in c('gamma', 'lognormal', 'weibull')) {
    dist.fit[[dist.i]] <- fitdist(ratio.cn, dist.i)
}

質問： これは有効なアプローチですか？他の/より良いアプローチはありますか？

前もって感謝します！

$\mu=0$

{\hat{μ}}_{y : x} = μ_{y} / m u_{x} + σ_{x}^{2} * μ_{y} / μ_{x}^{3} + c o v (x, y) * σ_{x}^{2} * σ_{y}^{2} / μ_{x}^{2}

$\hat{\mu}_{y:x} = \mu_y/mu_x + \sigma^2_x * \mu_y / \mu_x^3 + cov(x,y) * \sigma^2_x * \sigma^2_y / \mu_x^2$

{\hat{σ}}_{y : x}^{2} = σ_{x}^{2} \times μ_{y} / m u_{x}^{4} + σ_{y}^{2} / m u_{x}^{2} - 2 * c o v (x, y) * σ_{x}^{2} * σ_{y}^{2} / m u_{x}^{3}

$\hat{\sigma}^2_{y:x} = \sigma^2_x\times\mu_y / mu_x^4 + \sigma^2_y / mu_x^2 - 2 * cov(x,y) * \sigma^2_x * \sigma^2_y / mu_x^3$

Hayya、J.およびArmstrong、D.およびGressis、N.、1975年。2つの正規分布変数の比率に関するノート。経営科学21：1338--1341

— デビッド・ルバウアー
ソース

コーシーからのランダムな抽選での分散の計算に関する更新質問を別の質問として投稿する必要がありますか？

— デビッドルバウアー

μ = 0

$\mu = 0$

μ

$\mu$

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

回答:

比率分布に関するウィキペディアの記事にある参考文献をご覧ください。使用するより良い近似または分布が見つかる可能性があります。そうでなければ、あなたのアプローチは健全に思えます。

アップデートより良いリファレンスは次のようになると思います：

正規変数の比率と均一変数の合計の比率（Marsaglia、1965）

195ページの式2-4を参照してください。

更新2

コーシーとの差異に関する最新の質問-ジョン・クックがコメントで指摘したように、差異は存在しません。したがって、サンプルの分散を取得することは、単に「推定子」として機能しません。実際、サンプルの分散はまったく収束せず、サンプルを取り続けるにつれて大きく変動することがわかります。

— アルス
ソース

参照をありがとう、それは私の質問でHaaya 1975の参照と方程式を見つけたところですが、方程式が私の問題に適切であることを安心していただければ幸いです。

— デビッドルバウアー

Haayaを簡単に見てみると、彼らは比率の正規近似を取得し、シミュレーションを使用してそれがいつ適用されるかを決定しているようです（変動係数cvを使用）。あなたのケースのcvは基準を満たしていますか？その場合、近似が適用されます。

— アルス

@David：回答で更新された代わりに、Marsaglia 1965を使用してください。

— アルス

NB：Marsaglia は2004年にJSSで更新を公開しました。

— デビッドルバウアー

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

$y^{-1} \sim N(.,.)$

以下のコーシーを使用するという提案は、arsとJohnのコメントで指摘されているように機能しません。

2つの通常ランダム変数の比率は、コーシー分布に従います。この考えを使用して、持っているデータに最も近いコーシーのパラメーターを特定できます。

a。分散を推定する必要がありますが、コーシー分布の分散は定義されていません。

— デビッドルバウアー

b。2番目の点を理解すれば、はい、y-1〜N（mu、sigma）と仮定できますが、yに与えられた要約統計量からmuとsigmaを計算する必要があります。また、多くの場合p（X <0 |

— X〜N

コーシーはゼロ平均法線に適用しませんか？

— アルス

@arsあなたは正しいです。その場合、コーチは限られた用途のものであり得る。

Ars：はい、Cauchyの結果にはゼロ平均が必要です。しかし、それでも、少なくともその特別なケースでは、Davidが推定しようとしている分散は存在しません。

— ジョンD.クック