L2ノルム損失には独自のソリューションがあり、L1ノルム損失には複数のソリューションがあるのはなぜですか？

http://www.chioka.in/differences-between-l1-and-l2-as-loss-function-and-regularization/

この投稿の上部を見ると、筆者は、L2ノルムには独自のソリューションがあり、L1ノルムにはおそらく多くのソリューションがあると述べています。これは正則化の観点から理解できますが、損失関数でのL1ノルムまたはL2ノルムの使用という点では理解できません。

スカラーx（x ^ 2および| x |）の関数のグラフを見ると、両方に1つの一意の解があることが簡単にわかります。

可能な限り簡単な説明のために、1次元の問題を考えてみましょう。（高次元の場合も同様の特性を持っています。）

両方そして、（X - μ ）2、それぞれが固有の最小値を持って、Σ I | X I - μ | しばしばしません。x 1 = 1およびx 2 = 3を考えます。$|x-\mu|$$(x-\mu)^2$$\sum_i |x_i-\mu|$$x_1=1$$x_2=3$

（x軸のラベルにもかかわらず、これは実際には関数です。ラベルを変更する必要がありますが、そのままにしておきます）$\mu$

$L_1$

$\sum_i (x_i-\mu)^2 = n(\bar{x}-\mu)^2+k(\mathbf{x})$

$L_1$

（特定の状況を除いて）通常、影響力の大きい観測が行われないという保証はないため、L1回帰をロバストとは呼びません。

プロットのRコード：

 fi <- function(x,i=0) abs(x-i)
 f <- function(x) fi(x,1)+fi(x,3)
 plot(f,-1,5,ylim=c(0,6),col="blue",lwd=2)
 curve(fi(x,1),-1,5,lty=3,col="dimgrey",add=TRUE)
 curve(fi(x,3),-1,5,lty=3,col="dimgrey",add=TRUE)

L2損失の最小化は算術平均の計算に対応し、これは明確であり、L1損失の最小化は中央値の計算に対応し、中央値計算に偶数個の要素が含まれる場合はあいまいです（中央傾向：変分問題の解決を参照））。