応答が4番目のルートによって変換されたときの回帰係数の解釈方法

1/4異分散の結果として、応答変数に4番目のルート（）べき乗変換を使用しています。しかし、現在、回帰係数の解釈方法がわかりません。

逆変換するときに係数を4乗する必要があると思います（以下の回帰出力を参照）。すべての変数は数百万ドル単位ですが、数十億ドル単位の変化を知りたいと思います。

他の独立変数を一定に保ちながら、平均して10億ドルの手数料の変更は32、コレクションの変更（または32,000ドル）につながります。私は0.000075223 * 1000（数十億に達するために）取り^ 4 = 0.000032ます。ここで、この数に100万または10億を掛けますか（従属変数の元の単位は100万単位です）？

lm(formula = (Collections^(1/4)) ~ Fees + DIR)

                 Estimate      Std. Error  t value            Pr(>|t|)
(Intercept)   2.094573355     0.112292375   18.653  0.0000000000000151
Fees        **0.000075223   **0.000008411    8.943  0.0000000131878713
DIR           0.000022279     0.000004107    5.425  0.0000221138881913

最善の解決策は、最初は、研究分野で意味のある再表現を選択することです。

独立因子に対する体重の回帰場合（例えば、それは立方体ルート（どちらかの可能性が高いです電源）または平方根（1 / 2パワー）が示される。量は、立方体ボリュームの良い代理であることを指摘根は長さ特性線形サイズを表す直感的な、潜在的に解釈意味を持つこの付与することを平方根自体がそのような明確な解釈を有していないが、近くにある。。2 / 3の寸法を有するパワー、表面積：それ総皮膚面積に対応する場合があります。）$1/3$$1/2$$2/3$

4のべき乗は対数に十分近いため、代わりにログを使用することを検討する必要があります。その意味はよく理解されています。しかし、時々、立方根や平方根、あるいはそのような分数の力が素晴らしい仕事をし、明白な解釈がないことが本当にわかることがあります。次に、少し算術を行う必要があります。

質問に示されている回帰モデルには、従属変数（「コレクション」）と2つの独立変数X 1（「フィー」）およびX 2（「DIR」）が含まれます。それは仮定します$Y$$X_1$$X_2$

$$Y^{1/4} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\varepsilon.$$

コード推定値はとして、B 0 = 2.094573355、β 1としてB 1 = 0.000075223、およびβ 2としてB 2 = 0.000022279。また、εは平均が0のiid正規であると仮定し、それらの共通分散を推定します（図示せず）。これらの推定値と、のフィット値Y 1 / 4がです$\beta_0$$b_0=2.094573355$$\beta_1$$b_1=0.000075223$$\beta_2$$b_2=0.000022279$$\varepsilon$$Y^{1/4}$

$$\widehat{Y^{1/4}} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2.$$

回帰係数の「解釈」とは、通常、各独立変数の特定の変化によって従属変数のどの変化が示唆されるかを決定することを意味します。 これらの変化は、誘導体であるチェーンルールを教えてくれる、等しい4 β I Y 3。見積もりをプラグインして、次のように言います$dY/dX_i$$4\beta_iY^3$

単位変化することを回帰推定値変化に関連付けられるYの4 B I Y 3 = 4 、B 、I （B 0 + B 1 X 1 + B 2 X 2 ） 3。$X_i$$Y$$4b_i\widehat{Y}^3$$4b_i\left(b_0+b_1X_1+b_2X_2\right)^3$

上の解釈の依存及びX 2は、単に、言葉で表現されていない$X_1$$X_2$無変換との状況とは異なり（の1つの単位の変化X iは変化に関連しているB IにおけるY）または対数（一つとX iのパーセント変化は、b iの Yパーセント変化に関連しています）。ただし、解釈の最初の形式を維持し、4 b 1 = 4 × 0.000075223 = 0.000301を計算することにより、$Y$$X_i$$b_i$$Y$$X_i$$b_i$$Y$$4b_1$$4\times 0.000075223$$0.000301$、次のように述べることができます

料金の単位変更 は、現在のコレクションのキューブの倍のコレクションの変更に関連付けられています。たとえば、現在のコレクションが10の場合、料金の単位の増加はコレクションの0.301の増加に関連付けられ、現在のコレクションが20の場合、同じ単位の料金の増加はコレクションの2.41の増加に関連付けられます。$0.000301$$10$$0.301$$20$$2.41$

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4番目以外のルートを取得する場合、たとえば、pをゼロ以外のY自体ではなくを応答として使用する場合、この分析の「4」のすべての出現を「1 / p」に置き換えるだけです。 $Y^p$$Y$$p$$4$$1/p$

ここでの変換の代替方法は、リンク関数powerおよびpower 1/4の一般化線形モデルを使用することです。使用するエラーファミリは公開されており、線形回帰と条件付き正規性の仮定よりも柔軟性があります。この手順の主な利点の1つは、予測が元の測定スケールで自動的に生成されるため、逆変換の問題がないことです。

ログの取得（および観測値の削除）を回避しながら、変化率について考える際に4次ルート回帰係数を使用した論文を見てきました。

四次根を使用して変化率を計算することに関心がある場合、次のことがわかります。

$\hat{Y} = (\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^4 \implies \frac{d\hat{Y}}{dX_1} = 4\hat{\beta}_1(\alpha+\hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^3$

$Y$$X$$X$

$\frac{d\hat{Y}/dX_1}{Y} = \frac{4\hat{\beta}_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

$Y$$X$

$\frac{d\hat{Y}}{dX_1}\frac{X_1}{\hat{Y}} = \frac{4\hat{\beta}_1 X_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

$X$

$Y^{1/4}$