通常の情報がない事前密度

ベイジアンデータ解析（頁64）について、述べている通常のモデル：

場所とスケールパラメータの事前の独立性を前提として、と賢明で漠然とした事前密度は、、または同等に、σ （μ 、ログσ ）P （μ 、σ 2）α （σ 2 ）- 1$\mu$$\sigma$$(\mu, \log \sigma)$

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

なぜはと同じですか？P （μ 、σ 2）α （σ 2 ）- $p(\mu, \log \sigma)$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$

なぜそれが「賢明な」事前なのですか？

してみましょうので、あなたが持っていることを逆変換。次に、ランダム変数の変換に標準ルールを適用して、以下を取得します。$\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$$\sigma^2 = \exp (2\phi)$

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

この以前のパラメータは独立しているため、次のようになります。

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

これにより、不適切な事前密度の指定フォームが得られます。この事前調査が理にかなっている理由の正当化に関して、控訴するいくつかの手段があります。最も単純な正当化は、これらのパラメータについての「無知」を表すためにおよびを統一することを望むことです。分散の対数を取ることは、そのパラメーターに関する信念がスケール不変であることを保証する変換です。（平均パラメーターに関する私たちの信念は、位置とスケールの不変でもあります。）つまり、2つのパラメーターの無知は、変数の測定スケールの任意の変化に対して不変であるという表現です。$\mu$$\log \sigma$

上記の導出では、対数分散パラメーターに前もって不適切なユニフォームを使用しました。均一な傾向にある対数スケールの適切な事前を使用し、これに対応する分散の適切な事前を見つけ、現在の値を取得するために制限をとることにより、制限の意味で同じ結果を得ることが可能です前に不適切な分散。これは実際には、不適切な事前分布は一般に適切な事前分布の限界として解釈できるという事実を反映しているにすぎません。

この不適切な事前には他にも多くの正当化の可能性があり、これらは事前の「無知」を表す理論に訴えかけます。この主題については多くの文献がありますが、「無知」を表現しようとするさまざまな方法について話しているアイロニーとシングプルワラ（1997年）（ホセベルナルドとの議論）では、より短い議論を見つけることができます。ここで扱う不適切な事前分布は、通常のモデルの共役事前分布の制限バージョンであり、各パラメーターの事前分散は無限大になります。