ARプロセスの開始点の分布

モデル確率過程ます。ここでです。$\{X_t, t = 1, 2, \ldots\}$

$$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$$ $e_t \thicksim f$

初期点分布はと同じだと言えますか？$X_1$$f$

の定常限界密度が存在する場合、と同じであると言えますか？$\{X_t\}$$X_2 (\stackrel{D}{=}\alpha X_1 + e_2)$

の定常限界密度（存在する場合）はと同じですが、と同じである必要はないと思います。$\{X_t\}$$X_2$$X_1$

再帰方程式によってのみ定義された時系列プロセスは、「開始分布」の指定に依存するため、完全には指定されていません。満たす必要のある追加の制限がない限り、任意の開始分布を使用でき、指定された再帰方程式に準拠したARモデルを引き続き使用できます。ただし、これを言ったとしても、定常的な ARモデルを指定したい場合がよくあります。これにより、再帰的な方程式以外に追加の制限が課されます。ARモデルを定常的にしたい場合は、が必要であり、プロセスの漸近分布と等しくなるように初期値の周辺分布を選択する必要もあります。$|\alpha|<1$

定常モデルに必要な周辺分布を取得するには、その分散を設定して周辺分布の分散を設定し。あなたが持っているARプロセスを定義する再帰方程式から：$\sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) = \mathbb{V}(X_{t-1})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) &= \mathbb{V}(\alpha X_{t-1} + e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \mathbb{V}(X_{t-1}) + \mathbb{V}(e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \sigma_X^2 + \sigma^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

解くと、ます。$\sigma_X$

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}.$$

したがって、（平均がゼロの）（強く）静止したARモデルを取得するには、開始分布を使用します。

$$X_i \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$$

この開始分布を使用すると、時系列値がすべて同じ周辺分布を持つことが保証され、定常的なプロセスが得られます。この結果から、自己相関パラメーターの絶対値が1に近いほど、系列の周辺分散が大きくなることがわかります。これは、そのようなプロセスには高い自己相関があるため、プロセスの翼が大きくなり、（限界）分散が大きくなるためです。

ここでもう1つ注意すべき点は、ARモデルに平均項がないため、漸近平均がゼロであるため、開始分布で平均ゼロを使用したことです。必要に応じて、平均パラメーターを持つようにモデルを一般化することもできますが、これにより再帰方程式がわずかに変更されます。より一般的なARモデルに関するこの問題については、こちらの同様の質問に対する別の回答で説明しました。その回答を読んで、これを補足することをお勧めします。