ロングテールのポアソン累積分布の単純な近似？

Iは、容量を決定する未満で残留確率を有するようにテーブルのを2 - Pオーバーフローに対して所定のためのp ∈ [ 40 ... 120 ]、エントリの数が所定の期待とポアソン法則に従うと仮定E ∈ [ 10 3 … 10 12 ]。$C$$2^{-p}$$p\in[40\dots 120]$$E\in[10^3\dots 10^{12}]$

理想的には、与えられたおよびのCような最小の整数が必要です。でもそれより少し高いので満足です。Mathematicaは手動計算には問題ありませんが、コンパイル時とコンパイル時に計算したいので、64ビット整数演算に制限されています。1-CDF[PoissonDistribution[E],C] < 2^-ppECCpE

更新：Mathematica（バージョン7）e = 1000; p = 40; c = Quantile[PoissonDistribution[e], 1 - 2^-p]では1231、ほぼ正しいと思われます（@Procrastinatorに感謝）。しかし、両方のための結果p = 50とp = 60され1250、安全でない側に間違っている、（そして事項：私の実験のような繰り返し倍以上、私は明らか未満たい2 - 30の全体のオッズ故障のを）。コンパイル時にC（++）で使用できるように、64ビット整数演算のみを使用して、粗雑ではあるが安全な近似が必要です。$2^{25}$$2^{-30}$

大きな平均値を持つポアソン分布はほぼ正規ですが、尾の境界が必要であり、正規近似は尾の近くでは比例して精度が低くなることに注意する必要があります。

このMOの質問と二項分布で使用されるアプローチの1つは、テールが幾何級数よりも急速に減少することを認識することです。そのため、明示的な上限を幾何級数として記述できます。

$$\begin{eqnarray}\sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu)\frac{\mu^k}{k!} & \lt & \sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{D!}\bigg(\frac \mu{D+1}\bigg)^{k-D} \\ & = & \exp(-\mu)\frac{\mu^D}{D!}\frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & \lt & \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{\sqrt{2\pi D}(D/e)^D} \frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & = & \exp(D-\mu) \bigg(\frac{\mu}{D}\bigg)^D \frac{D+1}{\sqrt{2\pi D} (D+1-\mu)}\end{eqnarray}$$

$\to$$-p \log 2 = \log(\text{bound})$$D = \mu + c \sqrt \mu.$

$p=100$$\mu = 1000$$1000$$0$$1384$$1-1/2^{100.06}.$$0$$1383$$1-1/2^{99.59}.$

$Y$$\lambda$

$$G(x)= \sqrt{2\left(x\ln \frac{x}{\lambda} +\lambda-x\right)} \ \ {\rm sign} \left(x-\lambda\right).$$ $\Phi$$k\ge 0$ $${\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k)) \le {\bf P}(Y\le k),$$ $$\Phi(G(k-1)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$$ $k>0$$\Phi(G(k+(1/2))) \le {\bf P}(Y\le k)$ $$\Phi(G(k-1/2)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$$ $k>0$