ガンマ分布からの統計の独立性

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ましょは、ガンマ分布からのランダムサンプルです。 $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

ましょうと、それぞれ、サンプル平均と標本分散すること。 $\bar{X}$ $S^2$

そして、ということを証明または反証と独立しています。 $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

私の試み：以来、我々はの独立性を確認する必要がありおよび $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ が、どのように私はそれらの間の独立性を確立する必要がありますか？ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— ベルサークル
ソース

2

和

と比率

のベクトル

の結合ラプラス変換を考えます。これは、

。これが

の関数と

関数の積であることを示すことができます。

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$

W

$\mathbf{W}$

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

— イブ

@Yves以下に投稿した私の回答を確認していただけませんか？

— ベルサークル2018年

3

積分について、かわいくてシンプルで直感的に明らかなデモがあり $\alpha.$ これは、一様分布、ガンマ分布、ポアソンプロセス、および確率変数のよく知られたプロパティにのみ依存し、次のようになります。

各は、ポアソンプロセスのポイントが発生するまでの待機時間です。 $X_i$ $\alpha$
和まで従って、待機時間であるそのプロセスの点が生じます。レッツ・コールこれらの点の $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
上の条件、最初点は、独立して均一に分散されと $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
したがって、比、独立して均一に分散されと特に、それらの分布は依存しない $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
したがって、任意の（測定）関数無関係である $Z_i/Y$ $Y.$
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

$S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
ソース

3

$\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

$U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

免責事項。この質問は、比例合計の独立性に関するルカーチの定理に関連しているため、ユージーンルカーチによるガンマ分布の特性化に関する記事に関連しています。ここでは、この記事の関連部分（つまりp。324）を抽出しましたが、表記法が一部変更されています。また、複素数を含む変数の変更を回避するために、特性関数の使用をラプラス変換の使用に置き換えました。

— イヴ
ソース

1

（+1）ガンマ分布の特性評価に関する論文。

— StubbornAtom

1

$U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

$U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

$\beta$ $\alpha$

— ベルサークル
ソース

α

$\alpha$