2次微分の直感とは何ですか？

時系列は、静止させるために差分をとる必要がある場合があります。ただし、1次の差分では不十分な場合に、2次の差分がそれを定常状態にするのにどのように役立つかは理解できません。

2次微分と、それが必要な場合について直感的に説明していただけますか？

2次微分は、2次導関数の離散的な類似です。離散時系列の場合、2次の差は、特定の時点での系列の曲率を表します。2次の差が正の場合、時系列はその時点で上向きにカーブしており、負の場合、時系列はその時点で下向きにカーブしています。

離散時系列の2次の差時刻におけるです。$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

これは肯定的である場合及び負なら（ゼロなら）。前回よりも今回の系列の上昇（下降が少ない）変化が多い場合は正の曲率があり、今回の系列の上昇（下降）が前回より少ない場合は、負の曲率があります。$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

2つの考え：

再帰。一次違いの後で、あなたは何を持っていますか？もう1つの時系列は、適切な条件下で、定常により近いものです。十分に接近していない場合は、定常ではない時系列があり、それを定常に近づけたいため、1次の差をとります。（これは、たまたま元の時系列の2次の差です。）差分時系列が定常に十分に近くない場合、あなたは... [再帰] ...

デリバティブ。10分ごとに車のGPS位置を記録するとします。2日以内にGPSポイントを取得して表示でき、それが何日だったかがわからなかった場合、ある日を実際に別の日に区別できなかった場合でも、位置データは定常。

しかし、毎日2週間近くの別の都市に車で行ったとしましょう。あなたは簡単に日の間の違いを知ることができるでしょう-私があなたに見せていた日を正確に知っているかもしれません。静止していない。

おそらく、代わりに自宅からの距離を10分ごとに記録した場合、データはより定常的になります。距離には方向が含まれていないため、おそらく2週間のデータはほとんど同じに見えるでしょうか？（たとえば、平均的な場所は自宅です。）

代わりに、ニューヨークからロサンゼルスまで直接車で行くことを選択したとします。あなたの距離があなたに日の間のかなり明確な区別を与えるので、距離トリックはうまくいきません。

ただし、代わりに10分ごとに速度を記録することもできます。州間システムで国を越えて運転する場合、あなたは日々、速度の点でよく似ている傾向があります。つまり、あなたの速度は静止しています。

、時刻0の位置はで、10分後と20分後はそれぞれとです。各10分間隔で移動した距離はおよびであり、時間間隔で割ると速度が得られます（速度と同じ単位ですが、方向があります）。2番目の微分、は加速度です。速度が一定で、車両が常に動いている場合、場所の違いも一定です。$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$