離散確率変数のプロパティ

私の統計コースは、離散確率変数には有限数のオプションがあることを教えてくれました...私はそれを実現していませんでした。整数のセットのように、それは無限かもしれないと私は思ったでしょう。大学のコースのいくつかを含むいくつかのWebページをグーグルで調べて確認したところ、これを具体的に確認できませんでした。しかし、ほとんどのサイトは離散確率変数は数えられると言います-それは有限数を意味すると思いますか？

（ほとんど？）がしばしば境界されていても、連続確率変数が無限であることは明らかです。

しかし、離散確率変数に有限の可能性がある場合、整数の無限分布とは何でしょうか。それは離散的でも連続的でもありませんか？変数は連続＆（定義により）無限または不連続＆有限のいずれかの傾向があるため、問題は疑わしいですか？

それがあなたのコースが言ったことであるなら、それは間違っています。

離散分布は有限の数の結果をもたらす可能性がありますが、必須ではありません。無限の数の可能な結果を​​持つ離散分布を持つことができます-要素の数は数えられるほどでなければなりません。

一般的な例は、幾何分布です。あなたが頭を得るまで、公正なコインのトスの数を検討してください。必要になる可能性のあるトスの数に上限はありません。1回のトス、2回、3回、100回、またはその他の数字が必要な場合があります。

離散分布は負になる可能性があります（このような2つの幾何学的に分布した確率変数の違いを考慮してください。正または負の整数にすることができます）。

ただし、私の例のように、離散分布は整数を超える必要はありません。これは一般的な状況であり、要件ではありません。

私は答えを書いています。私は測度理論的確率について非常に単純な理解しか持っていないという観点で（したがって、専門家、私を訂正してください！）

$X: S \to \mathbb{R}$$S$

$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$

$X(s)$

Cantor分布のように、離散的でも連続的でもない確率変数を使用することもできます。

ウィキペディアのページで連続変数と離散変数を引用するには：

それ[変数]が2つの特定の実数値をとることができ、それらの間のすべての実数値（任意に接近している値であっても）をとることができる場合、変数はその間隔で連続です。

したがって、離散確率変数は「有限数のオプション」を持っている必要はありませんが、可能な値の間に無限でないギャップが必要です。これは、整数の分布の場合に当てはまります。これは、2つの隣接する整数間の「距離」が1であり、これより小さくすることはできないためです。したがって、変数はこれらのギャップ内で「継続」しないため、変数は連続的ではありません。

編集：私はおそらくこれに答えるより良いおよび/またはより正確な方法があることを知っていますが、これは私が個人的に違いを理解するのに役立ったものです。