スタン・

ここからダウンロードできるStanドキュメントを調べていました。Gelman-Rubin診断の実装に特に興味がありました。元の論文Gelman＆Rubin（1992）は、潜在的な縮尺率（PSRF）を次のように定義しています。

ましょうであるサンプリング番目のマルコフ連鎖、および全体的な存在であるとするサンプリング独立チェーン。ましょうから平均する番目の鎖、及び全体平均です。定義、ここでそして、定義 $X_{i,1}, \dots , X_{i,N}$ $i$ $M$ $\bar{X}_{i\cdot}$ $i$ $\bar{X}_{\cdot \cdot}$

W = \frac{1}{M} \sum_{m = 1}^{M} s_{m}^{2},

$W = \dfrac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} {s^2_m},$

s_{m}^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{t = 1}^{N} ({\bar{X}}_{m t} - {\bar{X}}_{m \cdot})^{2} .

$s^2_m = \dfrac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (\bar{X}_{m t} - \bar{X}_{m \cdot})^2\,.$

B

$B$

B = \frac{N}{M - 1} \sum_{m = 1}^{M} ({\bar{X}}_{m \cdot} - {\bar{X}}_{\cdot \cdot})^{2} .

$B = \dfrac{N}{M-1} \sum_{m=1}^{M} (\bar{X}_{m \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 \,.$

定義 PSRFはで推定されここでここで、。

\hat{V} = (\frac{N - 1}{N}) W + (\frac{M + 1}{M N}) B .

$\hat{V} = \left(\dfrac{N-1}{N} \right)W + \left( \dfrac{M+1}{MN} \right)B\,.$

\sqrt{\hat{R}}

$\sqrt{\hat{R}}$

\hat{R} = \frac{\hat{V}}{W} \cdot \frac{d f + 3}{d f + 1},

$\hat{R} = \dfrac{\hat{V}}{W} \cdot \dfrac{df+3}{df+1}\,,$

d f = 2 \hat{V} / V a r (\hat{V})

$df = 2\hat{V}/Var(\hat{V})$

Stanドキュメント（349ページでは、を含む用語は無視され、乗法用語も削除されます。これが彼らの公式です $df$ $(M+1)/M$

分散推定量は
${\hat{var}}^{+} (θ | y) = \frac{N - 1}{N} W + \frac{1}{N} B .$ $\widehat{\text{var}}^{+}(\theta \, | \, y) = \frac{N-1}{N} W + \frac{1}{N} B\,.$ 最後に、潜在的なスケール削減統計は、定義され $\hat{R} = \sqrt{\frac{{\hat{var}}^{+} (θ | y)}{W}} .$ $\hat{R} = \sqrt{\frac{\widehat{\text{var}}^{+}(\theta \, | \, y) }{W}}\,.$

私が見ることができることから、彼らはこの式の変更についての参考文献を提供しておらず、それについても議論していません。通常、大きすぎではない、としばしば低いようにすることができので、あっても、無視すべきではない用語は、1で近似することができます。 $M$ $2$ $(M+1)/M$ $df$

それでは、この式はどこから来たのでしょうか？

編集： 私は、「この式はどこから来たのか？」という質問に対する部分的な答えを見つけました。ゲルマン、カーリン、スターン、ルービンによるベイジアンデータ分析の本（第2版）はまったく同じ式です。しかし、本はこれらの用語を無視することを正当化する方法/理由を説明していませんか？

— グリーンパーカー
ソース

公開された論文はまだありません。公式はおそらく今後数ヶ月で変更されるでしょう。

— ベングッドリッチ

@BenGoodrichコメントありがとうございます。この式を使用する動機について、他に何か言えることはありますか？そして、なぜ式が正確に変わるのですか？

— グリーンパーカー

現在の分割R-hat式は、チェーンが1つしかない場合に適用するのが最も一般的な方法です。今後の変更は、主に、基礎となる周辺事後分布が正規ではないか、平均および/または分散を持つ可能性があるという事実に対処することです。

— ベングッドリッチ

@BenGoodrichはい、STANがRhatを分割した理由はわかります。それでも、その場合に

、及び定数ので

無視できません。

M = 2

$M = 2$

(M + 1) / M = 3 / 2

$(M+1)/M = 3/2$

— グリーンパーカー

Iは、ゲルマン・ルービン（1992）に与えられた特定のリンクに従い、それが有する以降のバージョンと同様に、もののと置き換えブルックス・ゲルマン（1998）とを有するBDA2に（ゲルマンら、2003）及びBDA3（ゲルマンら、2013）。

\hat{σ} = \frac{n - 1}{n} W + \frac{1}{n} B

$\hat{\sigma} = \frac{n-1}{n}W+ \frac{1}{n}B$

\hat{σ}

$\hat{\sigma}$

{\hat{σ}}_{+}

$\hat{\sigma}_+$

{\hat{v a r}}^{+}

$\widehat{\rm var}^+$

\hat{R} = \frac{m + 1}{m} \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W} - \frac{n - 1}{m n},

$\hat{R} = \frac{m+1}{m}\frac{\hat{\sigma}_+}{W} - \frac{n-1}{mn},$

\hat{R} = \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W} + \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W m} - \frac{n - 1}{m n} .

$\hat{R} = \frac{\hat{\sigma}_+}{W} + \frac{\hat{\sigma}_+}{Wm}- \frac{n-1}{mn}.$

n

$n$

Gelman＆Rubin（1992）には、dfがdf /（df-2）の用語もありました。Brooks＆Gelman（1998）には、このdf相関が正しくない理由を説明するセクションがあり、（df + 3）/（df + 1）を定義しています。Brooks＆Gelman（1998）のセクション3.1の前の段落では、（d + 3）/（d + 1）を削除できる理由を説明しています。

$\frac{\hat{\sigma}_+}{Wm}- \frac{n-1}{mn}$

$\hat{R}$ $n$ $m$

通常、Mは大きすぎず、しばしば2

$\hat{R}$

追加リファレンス：

ブルックスとゲルマン（1998）。Journal of Computational and Graphical Statistics、7（4）434-455。

— アキ・ヴェタリ
ソース

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$

\hat{R}

$\hat{R}$

({\hat{σ}}^{2} + B / m n) / W * d f_{t e r m}

$(\hat{\sigma}^2 + B/mn)/W * df_{term}$

(m + 1) / m

$(m+1)/m$

— グリーンパーカー

よくわかりません。あなたが提供したリンク経由の記事とStat ScienceのWebページの記事には457-472ページしかありません。今はチェックしていませんが、数年前と昨年、codaをチェックしたときに、現在の推奨バージョンがありませんでした。

— アキヴェタリ

回答を編集したことに注意してください。Gelman＆Brooks（1998）には（m + 1）/ m項がより明確に記載されており、意思決定のために（m + 1）/ m項の効果をほとんどキャンセルする最後の項を見逃したようです。セクション3.1の前の段落を参照してください。

— アキヴェタリ

申し訳ありませんが、それはタイプミスでした。465ページで、GelmanとRubinにはBrooksとGelman（上記で述べた）とまったく同じ定義があります。BrooksとGelmanの式1.1は、正確に書き留めたものです（いくつかの用語を並べ替えるとき）。

— グリーンパーカー

「nが大きい場合、第2項と第3項の効果は意思決定に無視できることがわかります」と言っているので、BDAの表現、したがってSTANは大きなnのこれらの用語を本質的に無視することに由来しますか？

— グリーンパーカー