QQプロットと

qqplotは線形ですが、勾配が45度の線と同じでない場合、これは何を示唆していますか？

私はラプラス分布のサンプルデータへの適合を調べようとしているので、ランダムにラプラス分布（サンプルから推定されたパラメーターを使用）の観測を生成し、それらをサンプルに対してプロットしました。

qqplot(rand, sample)
abline(0, 1, col = 'red')

あなたの質問にはデータが不足しているため、以下の私の回答では（ラプラス分布とサンプルデータではなく）ガウス分布とサンプルを使用しています。

最初の2つの瞬間に関する限り、qq-plotに表示される内容の解釈は次のとおりです。

• 分布が同一である場合、次の行が期待されます $x = y$：

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x)
  abline(0, 1, col = 'red')

• 平均が異なる場合は、切片を期待します $a \neq 0$、つまり、上または下になります $x=y$ ライン：

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x + 1)
  abline(0, 1, col = 'red')

• 標準偏差が異なる場合、勾配が予想されます $b \neq 1$：

  x <- rnorm(1000)
  qqnorm(x * 1.5)
  abline(0, 1, col = 'red')

これを直感的に理解するには、同じプロットにCDFをプロットするだけです。たとえば、最後のものをとります：

lines(seq(-7, 7, by = 0.01), pnorm(seq(-7, 7, by = 0.01)), col = 'red')

たとえば、y軸に3つの点があるとします。 $CDF(q) = 0.2$、 $0.5$、 $0.8$ の価値を見て $q$ （分位）は各CDF値を示します。

あなたはそれを見ることができます：

$$\begin{aligned} F^{-1}_{red}(0.2) &> F^{-1}_X(0.2) \text{ (quantile around -1)} \\ F^{-1}_{red}(0.5) &= F^{-1}_X(0.5) \text{ (quantile = 0)}\\ F^{-1}_{red}(0.8) &< F^{-1}_X(0.8) \text{ (quantile around 1)} \end{aligned}$$

これは、qq-plotによって示されるものです。

QQプロットの線形性は、サンプルが正規分布に従うことを示唆するだけです（より具体的には、その分位関数はプロビット関数です）。勾配は標準偏差によって決定されます（sd = 1の場合、一般的な$x=y$ ライン）。

S字型のプロットは、180度回転に対して対称に見えるもので、対称的な分布を示しています。

したがって、形状の直感的な推論は次のとおりです。直線を得るには、平均の周りの分位点の間隔の同様のスケーリングが必要です。ということは$x^{th}$ 分位数とは、平均からの距離の割合です。 $y^{th}$分位では、比率は保存されます。これは、正規分布の場合にのみ保存されます。傾きは、この比率の絶対的な大きさをより示しているため、sdに依存します。分布に沿ったさまざまな場所でこの比率を調べることにより、さまざまな形状を同様に推論できます。

ここにいくつかの視覚化があります。

注：規範と同様に、Y軸にサンプルをプロットしています。プロットした方法でサンプルをX軸に配置すると想定しています。

Rコード：

# Creating different distributions with mean 0
library(rmutil)
set.seed(12345)
normald<-rnorm(10000,sd=2)
normald<-(normald-mean(normald))/sd(normald)
sharperpeak<-rlaplace(10000) #using Laplace distribution
sharperpeak<-(sharperpeak-mean(sharperpeak))/sd(sharperpeak)
heavytail<-rt(10000,5) #using t-distribution
heavytail<-(heavytail-mean(heavytail))/sd(heavytail)
positiveskew<-rlnorm(10000) #using lognormal distribution
positiveskew<-(positiveskew-mean(positiveskew))/sd(positiveskew)
negativeskew<-positiveskew*(-1) #shortcut
negativeskew<-(negativeskew-mean(negativeskew))/sd(negativeskew)

library(ggplot2)
library(gridExtra)

#normal plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=normald))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Normal Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(normald,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=normald))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#sharppeak plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=sharperpeak))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Sharper-peaks')+geom_vline(xintercept=quantile(sharperpeak,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=sharperpeak))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#heaviertails plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=heavytail))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Heavy Tails')+geom_vline(xintercept=quantile(heavytail,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))
p2<-ggplot(data.frame(dt=heavytail))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#positiveskew plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=positiveskew))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Positively skewed Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(positiveskew,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))+xlim(-1.5,5)
p2<-ggplot(data.frame(dt=positiveskew))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

#negative skew plot
p1<-ggplot(data.frame(dt=negativeskew))+geom_density(aes(x=dt),fill='green',alpha=0.6)+xlab('Negatively skewed Distribution')+geom_vline(xintercept=quantile(negativeskew,c(0.25,0.75),color='red',alpha=0.3))+xlim(-5,1.5)
p2<-ggplot(data.frame(dt=negativeskew))+geom_qq(aes(sample=dt))+geom_abline(slope=1,intercept = 0)
grid.arrange(p1,p2,nrow=1)

# Normal distributions with different sds
normal1<-rnorm(3000,sd=2)
normal2<-rnorm(3000,sd=4)
normal3<-rnorm(3000,sd=0.5)
normal4<-rnorm(3000,sd=0.25)
final<-c(normal1,normal2,normal3,normal4)
ggplot(data.frame(dt=final,sds=factor(rep(c('2','4','0.5','0.25'),each=3000))),aes(sample=dt,color=sds))+geom_qq()+geom_abline(slope=1,intercept=0)