OLS： 1番目の方程式のは2番目の方程式の標準誤差にバイアスをかけますか？

仮定との時系列である、（とは場合と似ていますが、ダミー= 1）の場合に変更されます。そして、。現実の世界では、これは社の定期的な株式市場のリターンになります（ただし、これは無視できます）。ダミーのがあり、これはでの単一性に等しく、それ以外の場合はゼロに等しくなります。OLS推定される時系列モデルは次のとおりです。 ${X_{it}},{Y_{it}}$ $X_{it}\sim N(0.1,1)$ $\sigma^2(Y_{it}) = 1$ $mean(Y_{it})$ $X_{it}$ $t \in \{1,2,...,200\}$ $i \in \{1,2,...,N\}$ $N$ $D_t$ $t \in \{150,151,...,200\}$ $\forall i$

$(1) Y_{it} = \alpha_i + \beta_i X_{it} + \gamma_i D_{t} + \epsilon_{it}$

このモデルは通常、各ガウスマルコフ仮定に準拠しています。ただし、すべてのおよびに対してがあります。 $i$ $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $i$ $j$

次のステップは、モデル推定値を使用してガンマのベクトルを作成することです。このベクトルを呼びます。次に、これを断面モデルで使用します。 $N$ $(1)$ $\bf{\hat{\gamma}}$

$(2) \hat{\gamma}_i = a + b Z_i + u_i$

ここで、は、OLSの仮定に違反を引き起こさないいくつかの断面変数であり、説明に関連しています。 $Z_i$ $\hat{\gamma}_i$

適用された計量経済学の文献に記載があることモデルにおけるにおけるOLS係数推定のための（i）は問題なしにリード、しかし、（ⅱ）に標準エラーにバイアス。 $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $(1)$ $(2)$ $(2)$

これが事実である理由について誰かがアイデアを投稿してくれませんか？
が式ものを理解できません。もちろん、はスカラーであり、スカラーを転置することはできません。これは、見ているHERE彼らはこの方法を適用する場合は、。 $\epsilon_{it}^T$ $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $\epsilon_{it}$

なぜ、分散推定が式2で偏っているのか理解していないと言い、次に、方程式2である推定を無視できると言いますか？私はあなたが何を意味するのか理解しており、それに対する推測的な答えを与えることができると思いますが、あなたの質問を正確にする方が良いでしょう。

γ

$\gamma$

— JDav 2012

平均は依存するため、設定ではを定常にすることはできません。

Y_{i t}

$Y_{it}$

t

$t$

— mpiktas 2012

期待には3つのバージョンがあります（タイトルに1つ、本文に1つ、コメントに3つ目）。すべてのケースでスカラーしか存在しないにもかかわらず、それらのすべてに神秘的な転置が組み込まれています。投稿を編集してわかりやすくしますか？

— 枢機卿

@mpiktas正しい観測、以降の平均は異なります（）。ありがとう。

Y_{i t}

$Y_{it}$

t = 150

$t=150$

γ_{i} \neq 0

$\gamma_i \not= 0$

いくつかの良い答えが得られました。これはランダム係数モデル（社会学者と心理学者のマルチレベルモデル、生物統計学者の混合モデル）として推定する必要があることを付け加えます。エコノミストがこれを知らず、2ステップの手順で見積もった場合、それは彼らにとってはあまりにも悪いことです（そして、私はまだFama-Macbethの標準エラーが死ぬのを待っています。

— StasK 2012

回答:

詳細を確認する必要があることを確認するために、これは真の分散共分散行列を2番目のolsステージで取得したものと比較することを意味します。

本当の：

これは、eq.2をeq.1に置き換えることで取得でき、プールされたOLSが続きます。これから、真の分散共分散行列： $\hat a , \hat b$

$Y_{it} = \alpha_i + \beta_i X_{it} + aD_t + bD_tZ_{i} +D_t u_{i} + \epsilon_{it}$

行列表記を使用して方程式をパラメータなどに分割すると、次のようになります。 $\gamma$

$Y = X\theta + Z\gamma + \varepsilon$

我々はに興味のある場所、、Zは2列のベクトル（同様の構造がXを定義しますが、これは重要ではありません）およびは、会社間の共分散の完全な構造。これが、GAUSS-MARKOVの仮定のように対角線（）ではない理由です。フリッシュウォーによって、 olは次のように表すことができます。 $V(\hat \gamma)$ $\gamma=[a \; b]$ $Z=[D_t \; D_tZ_i]_{[i=1,..,N;t=1,...,T]}$ $V(\varepsilon) =\Sigma$ $\sigma^2I_{NT}$ $\gamma$

$\hat \gamma = (Z'M_{X}Z)^{-1}Z'M_{X}Y$ ここで $M_X= I-X(X'X)^{-1}X'$

これは、次の真の分散を意味します。

$V(\hat \gamma) = H\Sigma H'$ where $H = (Z'M_{X}Z)^{-1}Z'M_{X}$

別のもの

非相関会社（および期間ですが、これは問題ではありません）の仮定の下で、は単純な対角構造持っています。これは、三角項が0であることを意味します。さらに単純な仕様（OLSの計量経済および統計ソフトウェアによってデフォルトで推定される仕様）では、はGAUSS-Markovの仮定に従います。つまり、対角項も等しいため、ダウングレードされます $\Sigma$ $\Delta$ $\Delta$ $\Sigma$ $\Sigma$ $\sigma^2I$

これは、企業間の相関を考慮しないと、が次のようになることを意味します。 $V(\hat\gamma)$

$V(\hat \gamma) = H\Delta H'$ または $V(\hat \gamma) = H\sigma^2I H' \equiv \sigma^2(Z'M_xZ)^{-1}$

ご覧のとおり、これは本当のものとは異なります。

— JDav
ソース

異なる言葉で..私は基本的に@mpiktasが与えた同じ答えを与えています

— JDav '22

（1）本当に素晴らしい。（2）モデルを行列形式で表現したときに、を無視したようにますか？これはあなたがやったことは何も変更しないはずです。（3）ポートフォリオOLSが正しいSEを提供する理由を知っていますか？（私がリンクした1986年の論文を参照）。その問題を理解するのを楽しみたくない場合は、答え（3）を気にしないでください。

D_{i} u_{i}

$D_i u_i$

（2）直観的にわかりやすくするため、およびクロネッカー製品を回避するために、すべての定義を入れたわけではありません...このようにして、デモは「高速」になります。しかし、新しいランダム項はであると推測できます。これは、企業がによって相関されていた場合、新しいランダム項がその上で相関されることを意味します企業も同様に次元。（3）ポートフォリオOLSについては聞いていませんが、WLSやRobust OLSなどの完全なVar行列を使用したdelからdelまでの標準的な計量経済学にすでに存在するものの単なる別の名前だと思います

ε_{i t} = D_{t} u_{i} + ϵ_{i t}

$\varepsilon_{it} = D_tu_i + \epsilon_{it}$

u_{i}

$u_i$

ε_{i t}

$\varepsilon_{it}$

— JDav

（3）適切な見積もりは、適切な見積もりを意味します。ポートフォリオOLSは、共分散のない分散だけではなく、完全構造を推定しています：または単一分散：

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

Δ

$\Delta$

σ^{2}

$\sigma^2$

— JDav

表記は無名だと思います。彼は会社間の共分散がゼロではないという事実を参照するためにベクトルが必要なスカラーを使用しているため、彼の表記は意味しはN行のベクトルです。別の解釈は、彼が要素を参照しているというものです。どちらの場合も彼は同じことを意味しますが、それは数学記法における量的なジャーナルのあいまいさが発生するためです...

ϵ_{i t} = [ϵ_{i t}]_{i = 1, . . ., N}

$\epsilon_{it} = [\epsilon_{it}]_{i=1,...,N}$

i j

$ij$

ϵ_{. t}^{T} ϵ_{. t}

$\epsilon_{.t}^T\epsilon_{.t}$

— JDav

詳細については別の回答を掲載します。

標準の線形回帰モデル（行列形式）の場合：

Y = X β + ε

$Y=X\beta+\varepsilon$

OLSの見積もりは次のとおりです

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} Y .

$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^TY.$

その分散は、

V a r (\hat{β}) = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} V a r (Y) X (X^{T} X)^{- 1} .

$Var(\hat\beta)=(X^TX)^{-1}X^TVar(Y)X(X^TX)^{-1}.$

回帰の通常の仮定は、

V a r (Y) = σ^{2} I,

$Var(Y)=\sigma^2I,$

ここで、は単位行列です。その後 $I$

V a r (\hat{β}) = σ^{2} (X^{T} X)^{- 1} .

$Var(\hat\beta)=\sigma^2(X^TX)^{-1}.$

今あなたの場合にはあなたは2つのモデルを持っています：

Y_{i} = M_{i} δ_{i} + ϵ_{i}

$Y_{i}=M_i\delta_i+\epsilon_i$

そして

Γ = L c + u,

$\Gamma=Lc+u,$

どこ

$Y_i^T=(Y_{i1},...,Y_{iT})$ 、
$M_i=[1,X_i,D]$ 、、 $X_i^T=(X_{i1},...,X_{iT})$ $D^T=(D_1,...,D_T)$
$\delta_i^T=(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$
$\epsilon_i^T=(\epsilon_{i1},...,\epsilon_{iT})$
$\Gamma^T=(\gamma_1,...,\gamma_n)$
$L=[1,Z]$ 、 $Z^T=(Z_1,...,Z_n)$
$c^T=(a,b)$
$u^T=(u_1,...,u_N)$ 。

あなたが第2のモデルを述べることに注意見積もりのので、私は「真」のために、通常の形でそれを言い直し、通常ではありません、。 $\gamma$ $\gamma$

係数 OLS推定の共分散行列を書き留め。 $c$

V a r (\hat{c}) = (L^{T} L)^{- 1} L^{T} V a r (Γ) L (L^{T} L)^{- 1}

$Var(\hat{c})=(L^TL)^{-1}L^TVar(\Gamma)L(L^TL)^{-1}$

問題は、監視しないことです。推定を観察します。はベクトルの一部です $\Gamma$ $\hat\Gamma$ $\hat\gamma_i$

{\hat{δ}}_{i} = δ_{i} + (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} ϵ_{i} .

$\hat\delta_i=\delta_i+(M_i^TM_i)^{-1}M_i^T\epsilon_i.$

はランダムで、と独立していると仮定します。これは確かにもので、これを他の要素に拡張しても何も失うことはありません。 $\delta_i$ $\epsilon_i$ $M_i$ $\gamma_i$ $\delta_i$

すべてのを積み重ねてみましょう： $\hat\delta_i$

{\hat{δ}}^{T} = [δ_{1}^{T}, . . ., δ_{N}^{T}]

$\hat\delta^T=[\delta_1^T,...,\delta_N^T]$

分散を調べます： $\hat\delta$

V a r (\hat{δ}) = [\begin{matrix} V a r ({\hat{δ}}_{1}) & c o v ({\hat{δ}}_{1}, {\hat{δ}}_{2}) & \dots & c o v ({\hat{δ}}_{1}, {\hat{δ}}_{N}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c o v ({\hat{δ}}_{n}, {\hat{δ}}_{1}) & c o v ({\hat{δ}}_{n}, δ_{2}) & \dots & V a r ({\hat{δ}}_{N}) \end{matrix}]

$Var(\hat\delta)=\begin{bmatrix} Var(\hat\delta_1) & cov(\hat\delta_1,\hat\delta_2) & \dots & cov(\hat\delta_1,\hat\delta_N)\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ cov(\hat\delta_n,\hat\delta_1) & cov(\hat\delta_n,\delta_2) & \dots & Var(\hat\delta_N) \end{bmatrix}$

とと仮定し。以下のために我々は持っています $Var(\epsilon_i)=\sigma^2_\epsilon I$ $E\epsilon_i\epsilon_j^T=0$ $i\neq j$

\begin{aligned} c o v ({\hat{δ}}_{i}, {\hat{δ}}_{j}) & = c o v (δ_{i}, δ_{j}) + c o v ((M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} ϵ_{i}, (M_{j}^{T} M_{j})^{- 1} M_{j}^{T} ϵ_{j}) \\ = (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} E (ϵ_{i} ϵ_{j}^{T}) M_{j} (M_{j}^{T} M_{j})^{- 1} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} cov(\hat\delta_i,\hat\delta_j)&=cov(\delta_i,\delta_j)+cov((M_i^TM_i)^{-1}M_i^T\epsilon_i,(M_j^TM_j)^{-1}M_j^T\epsilon_j)\\ &=(M_i^TM_i)^{-1}M_i^TE(\epsilon_i\epsilon_j^T)M_j(M_j^TM_j)^{-1}\\ &=0 \end{align}$

対角要素については、

V a r ({\hat{δ}}_{i}) = V a r (δ_{i}) + σ_{ϵ}^{2} (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1}

$Var(\hat\delta_i)=Var(\delta_i)+\sigma_\epsilon^2(M_i^TM_i)^{-1}$

分散に戻りましょう。私たちは、代用ので代わりに分散は以下のとおりであります $\hat c$ $\hat\Gamma$ $\Gamma$

V a r (\hat{c}) = (L^{T} L)^{- 1} L^{T} V a r (\hat{Γ}) L (L^{T} L)^{- 1},

$Var(\hat{c})=(L^TL)^{-1}L^TVar(\hat\Gamma)L(L^TL)^{-1},$

適切な要素を選択することにより、からを抽出できます。 $Var(\hat\Gamma)$ $Var(\hat\delta)$

V a r (\hat{Γ}) = V a r (Γ) + d i a g (g_{1}, . . ., g_{n})

$Var(\hat\Gamma)=Var(\Gamma)+diag(g_1,...,g_n)$

ここで、は対応するです。各は、とは異なります。これらは、等しいとは見なされない異なるおよびに対応するためです。 $g_i$ $\sigma_\epsilon^2(M_i^TM_i)^{-1}$ $Var(\hat\gamma_i)$ $g_i$ $g_j$ $X_{it}$ $X_{jt}$

したがって、驚くべき結果が得られます。代数的にはすべての必要なプロパティを仮定したとしても、結果として得られる共分散行列は少なくとも代数的には通常のOLS共分散行列と等しくなりません。これは、が一定であることを必要とするためですそれが明らかにそうでない時間単位行列。 $Var(\hat\Gamma)$

上記のすべての式は、が一定であることを前提として導出されているため、条件としています。これは、実際に計算したことを意味します。に追加の仮定を置くことにより、無条件分散がOKであることを示すことが可能になると思います。 $X_{ij}$ $X_{ij}$ $Var(\hat\Gamma|X)$ $X_{ij}$

置かれた独立性の仮定は、無相関に緩和することもできます。 $\epsilon_i$

代わりにを使用すると、シミュレーションスタディを使用して共分散行列がどのように異なるかを確認することもできます。 $\hat\Gamma$ $\Gamma$

— mpiktas
ソース

問題は2番目のモデルの定義にあると思います。私はそれが想定されていると思います

γ_{i} = a + b Z_{i} + u_{i}

$\gamma_i=a+bZ_i+u_i$

通常の仮定で

c o v (γ_{i}, γ_{j} | Z_{1}, . . ., Z_{N}) = 0,

$cov(\gamma_i,\gamma_j|Z_1,...,Z_N)=0,$

すなわちこと我々がコントロールしている場合相関していない。あなたが代わりとき今の代わりに、、あなたはつまりあれば、仮定が成り立つかどうかを確認する必要があります $\gamma_i$ $Z_i$ $\hat{\gamma}$ $\gamma$

c o v (\hat{γ_{i}}, {\hat{γ}}_{j} | Z_{i}) = 0.

$cov(\hat{\gamma_i},\hat{\gamma}_j|Z_i)=0.$

今

{\hat{γ}}_{i} = γ_{i} + L (ϵ_{i t}),

$\hat{\gamma}_i=\gamma_i+L(\epsilon_{it}),$

ここで、は線形関数です。はから独立していると仮定しても安全ですが、場合、必要な仮定は成り立ちません。 $L$ $\epsilon_{it}$ $Z_i$ $E\epsilon_{it}\epsilon_{jt}\neq0$

無相関性の仮定は通常のOLS統計の計算の中心であるため、標準誤差が偏っている理由がここに示されます。

これはおおまかな概要でしたが、OLS機構の細部までこだわった詳細に入る場合は、このアイデアはうまくいくと思います。

— mpiktas
ソース