2つの変数の合計の分散の式の背後にある直観

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以前の研究から、

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

しかし、なぜかはわかりません。AとBが高度に変動する場合、効果は分散を「押し上げる」ことになることがわかります。2つの相関性の高い変数からコンポジットを作成する場合、Aの高い観測値とBの高い観測値を加算する傾向があり、Aの低い観測値とBの低い観測値を加算する傾向があります。これは、コンポジット変数に極端に高い値と低い値を作成し、コンポジットの分散を増やします。

しかし、なぜ共分散を正確に 2 倍することが機能するのでしょうか。

variance covariance intuition

— user1205901-モニカの復活
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場合と完全に正次いで、相関する、それらが完全に負その後に相関している場合。共分散は、それらの関係がこの範囲に沿ってどれだけ離れているかを測定します

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

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簡単な答え：

分散には正方形が含まれます：

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

ですから、あなたの質問は、正方形のアイデンティティの因子2に要約されます：

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

側の正方形の面積の分解として視覚的に理解することができる側面の小さな正方形の領域に及びに加えて、2辺の長方形と： $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

より複雑な答え：

数学的にもっと複雑な答えが必要な場合、共分散は双一次形式です。つまり、共分散は最初と2番目の引数の両方で線形であるため、次のようになります。

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

最後の行では、共分散が対称であるという事実を使用しました：

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

総括する：

と両方を考慮する必要があるので、2です。 $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— Byouness
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確率変数のセットはベクトル空間であり、ユークリッド空間のプロパティの多くはそれらに類似しています。標準偏差は長さのように作用し、分散は長さの2乗のように作用します。独立性は直交性に対応し、完全相関はスカラー倍に対応します。したがって、独立変数の分散はピタゴラスの定理に従います：。
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

それらが完全に相関している場合、
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

これはと同等であることに注意してください
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

それらが独立していない場合、それらはコサインの法則に類似した法則に従います：
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

一般的なケースは、完全な独立と完全な相関の間にあることに注意してください。場合および独立しており、次いで、ゼロです。したがって、一般的なケースでは、常に項と項があり、項にいくつかのバリエーションがあります ; 変数の相関が高いほど、この3番目の項は大きくなります。これはまさにある、それは次のとおりである倍のの及び。 $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

ここで、および $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

言い換えると、場合、 $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

したがって、は余弦の法則のに類似しています。 $r^2$ $cos$

— 蓄積
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私は何を引用することはないことを追加する定義ののではなく、結果の定義のと。したがって、その方程式が成立する理由の答えは、byounessによって実行される計算です。あなたの質問は本当にそれが理にかなっている理由かもしれません。非公式： $Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

がどの程度「変化」するかは、次の4つの要因によって異なります。 $A+B$

がどれだけ変化か。 $A$
がどれだけ変化するか。 $B$
が動き回る（または変化する）ときにがどれだけ変化するか。 $A$ $B$
が移動するときにがどれだけ変化するか。 $B$ $A$

これに私たちをもたらしますは対称演算子であるためです。

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + C o v (A, B) + C o v (B, A)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V a r (A) + V a r (B) + 2 C o v (A, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— バナニン
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