2つのrvの差の均一PDF

2つのiid rvの差のPDFを長方形のように見えるようにすることは可能ですか（たとえば、rvが均一な分布から取得された場合に得られる三角形の代わりに）。

つまり、jkのPDF f（ある分布から取られた2つのiid rvについて）がすべて-1 <x <1に対してf（x）= 0.5を持つことは可能ですか？

最小値が-1で最大値が1であることを除いて、jとkを取得する分布に制限はありません。

いくつかの実験の後、これは不可能かもしれないと思っています。

定理：なし分布がない$\text{Dist}$いる$A-B \sim \text{U}(-1,1)$場合$A, B \sim \text{IID Dist}$。

---

証明： 2つのランダム変数を検討$A, B \sim \text{IID Dist}$共通特性関数と$\varphi$。それらの違いを$D=A-B$表す。違いの特徴的な関数は次のとおりです。

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$D \sim \text{U}(-1,1)$$\varphi_D$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\text{Dist}$$\varphi$

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

$\blacksquare$

これは、この問題についての電気技術者の見解であり、stats.SEよりもdsp.SEに適しているという観点がありますが、問題ではありません。

$X$$Y$$f(x)$$Z$$X-Y$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ $f_Z(z)$$z=0$$f_Z$$f$$z=0$$Z$ $f_Z$$f_Z$$f_Z$ 密度が均一である場合は矛盾が生じるため、仮定は誤っている必要があります。

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Y$