実験数が二項分布されている二項分布

私のセットアップでは、

ある試験は。 $m$
各試行には、選択される確率あります。 $q$
$N \leq m$ は選択された試行の数です

$\to N \sim Bin (q, m)$ $\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$
選択した試行のそれぞれについて、成功の確率は $N$ $p$
$K\leq N$ は成功した試行の数です
$\to (K | N) \sim Bin (p, N)$ $\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$

私はすでに、および $E[K] = qmp$ $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

しかし、私は導出に行き詰まっています。私はこれを解決するための助けをいただければ幸いです。 $cov(K, N)$

binomial random-variable covariance

\begin{aligned} Cov (K, N) & = E Cov (K, N | N) + Cov (E K | N, E N | N) \\ = E 0 + Cov (p N, N) \\ = 0 + p Var (N) \\ = p m q (1 - q) . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$

— ジャール・タフト
ソース