多項分布の正規近似とは何ですか？

複数の可能な近似がある場合、私は最も基本的なものを探しています。

二項分布が一変量正規分布で近似されるのと同じ方法で、多変量​​正規分布で近似できます。分布理論の要素と多項分布のページ15-16-17を確認してください。

レッツあなたの確率のベクトルです。次いで、多変量正規分布の平均ベクトルであり、N 、P = （N P 1、N 、P 2、。。。、n個のp K）。共分散行列は、k × kの対称行列です。対角要素は実際にはX iの分散です。すなわちn p $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$、 iが= 1 、2 ... 、kは。i行j列の非対角要素は Cov （X i、X j）= − n p i p jです。ここで、 iは jと等しくありません。$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

この回答で与えられた密度は縮退しているので、次を使用して、通常の近似から生じる密度を計算しました。

$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

$n$

• $u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• $Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• $Q$$u$

$m-1$$m-1$$X$$X_m$

$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

$n$

• $\hat{u}$$m-1$$u$
• $\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• $n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

その最終方程式の右辺は、計算に使用される非縮退密度です。

予想どおり、すべてを接続すると、次の共分散行列が得られます。

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

$i,j = 1, \ldots, m-1$$m-1$$m-1$

このブログのエントリは私の出発点でした。