Mantelテストを非対称行列に拡張できますか？

マンテル検定は通常、対称距離/差分行列に適用されます。私が理解している限り、テストの前提は、差を定義するために使用される尺度が少なくとも半メトリックでなければならないということです（メトリックの標準要件を満たしますが、三角形の不等式は満たしません）。

対称性の仮定を緩和することができますか（事前測定基準を与える）？この場合、完全行列を使用して置換テストを適用することはできますか？

拡張する必要はありません。Mantelの1967年の論文に 示されているように、元のMantelテストでは、非対称行列が可能です。このテストは2つの距離行列XとYを比較することを思い出してください。X $n\times n$$X$$Y$

この時点で、以下で開発する統計手順を簡素化する統計の修正が予想される場合があります。変更は、制限を削除し、制限のみで置き換えることです。ここで、と、修飾の効果は、加算の正確値を倍にするだけです。ただし、距離関係が対称ではない場合、つまりおよびである可能性がある場合でも、開発された手順は適切です。次いで、被覆された特定の場合には、ある ...i ≠ j X i j = X j i Y i j = Y j $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ Y i j ≠ Y j i X i j = − X j i、Y i j = − Y j $X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

（セクション4、強調が追加されました）。

対称性は、のためのパッケージなど、多くのソフトウェアで人工条件であるように見えます。このade4パッケージでRは、「dist」クラスのオブジェクトを使用して距離行列を格納および操作します。操作関数は、距離が対称であることを前提としています。このため、そのmantel.rtest手順を非対称行列に適用することはできませんが、これは純粋にソフトウェアの制限であり、テスト自体のプロパティではありません。

テスト自体は必要とは思われない任意の行列の性質を。明らかに（前の節の終わりでの非対称参照への明示的な参照により）、またはエントリが正であることすら必要ではありません。これは、検定統計量としてつの行列の相関の尺度（要素のベクトルと見なされる）を使用する順列検定にすぎません。Y n $X$$Y$$n^2$

原則として、我々のデータ、計算の可能な順列各順列のための[検定統計量]とのヌル分布得るの観測値それに対して判断することができます。Z Z $n!$$Z$$Z$$Z$

[ 同上。]

実際、Mantelは行列が距離行列である必要はないことを明示的に指摘し、この可能性の重要性を強調しました。

一般的なケース公式は、とがクラスタリング問題で課される算術的および幾何学的な規則性に従わない場合にも適しています。例えば、。一般的な手順を任意のおよび適用できることが、さまざまな問題への拡張の根底にあります...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

（この例では、三角形の不等式を示しています。）

例として、彼は「対人関係の研究」を提案しました。「私たちは個人と、対称または非対称の 2つの異なる尺度を持ち、各個人を残りのに関連付けます」（強調を追加）。$n$$n-1$

付録では、Mantelは「順列分散」を導き出しました。これは、行列の対角要素が定数である可能性があり、ゼロでない可能性があることを前提としています。$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

結論として、最初からすべての計量公理は、テストにとって重要ではないと明示的に考慮され、拒否されました。

1. 「距離」は負の場合があります。

2. オブジェクトとそれ自体の間の「距離」はゼロでない場合があります。

3. 三角形の不等式を保持する必要はありません。

4. 「距離」は対称である必要はありません。

マンテルの提案する統計値、非対称距離ではうまく機能しない可能性があることにして終わります。課題は、このような2つのマトリックスを効果的に区別する検定統計量を見つけることです。積の合計の代わりに置換検定で使用します。$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

これはのテストの例ですR。2つの距離行列xとが与えられるとy、置換分布のサンプルを返します（検定統計量の値のベクトルとして）。それはそれを必要としない、xまたはyまったくの特定の性質を持っています。それらは、同じサイズの正方行列である必要があります。

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}