関数変換の下で確率は保存されますか？

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私はこれはちょっと基本的だと思いますが、確率変数があると言うと、確率は実数値の連続関数と同じです？ $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— リンクL
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また、一般的に、

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$ 。

— アレクシス

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これは、 $f$ が単調増加する場合にのみ有効です。場合 $f$ 単調に減少し、その後 $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ 。たとえば、 $f(x) = -x$ で、Xが通常のサイコロの場合、 $P(X \leq 5) = \frac56$ が、 $P(-X \leq -5) = \frac16$ です。場合 $f$ 増減を切り替え、それはさらに複雑です。

メモは、些細な場合もあります $f(x) \equiv 0$ ここで、 $P(f(X) \leq a)$ あれば1に等しい $a \geq 0$ そうでなければ0。

— 蓄積
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+1これが当てはまる場合、単射の場合を追加すべきでした。

— ステファンローラン

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いいえ。とユニフォームを取り。それから。一方、。 $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— ステファン・ローラン
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これは質問に関連しています：

あるのすべてのための？ $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

違反する多くの方法があるかもしれませんしばらく。ただし、すべての場合において、が非単調関数であることが必要です。 $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— セクストゥス・エンピリカス
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