事後確率は1を超えることができますか？

ベイズの公式では：

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

事後確率 1を超えることができますか？ $P(x|a)$

たとえば、で、で、と仮定すると可能だと思います。しかし、私はこれについて確信がありません。なぜなら、確率が1よりも大きいとはどういう意味でしょうか？ $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— トーマス・ムーア
ソース

表記法の定義は正確でなければなりません。

何を

P (\cdot)

$P(\cdot)$ 表すかは不明です。場合

P (\cdot)

$P(\cdot)$ （）の確率分布（その場合で

a

$a$ 及び

x

$x$ セットされている）又は（b）の離散空間上の質量関数は、あなたが既に持っている答えは、本質的に正しいです。場合

P (\cdot)

$P(\cdot)$ 密度関数であると理解され、それは真実ではないこと

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$ 。nitpickingの理由は、3種類の関数すべてがベイズ規則を満たすためです。表記

は通常、分布用ですが、引数に小文字を使用すると密度が示唆されます。

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— 男

なので、事後確率は

超えることはできません。（事後密度は別の問題である-連続分布の多くは、密度が超過している

、いくつかの値について）

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$

1

$1$

1

$1$

— ヘンリー・

計算された事後値が1を超える場合、どこかでミスをしました。

— エミルMフリードマン

@EmilMFriedman、あなたの答えはあいまいです（そして、そのため、潜在的に有害です）、それが「計算された事後」確率または密度を

— whuber

確率の統一障壁は、破れる可能性があり、破られています。私の投稿stats.stackexchange.com/questions/4220/…を参照してください。

— マークL.ストーン

回答:

仮定された条件は成り立ちません。条件付き確率の定義により、であるということは決してありえません。 $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— コール
ソース

いいえ、事後確率が1を超えることはできません。 それは確率論の規範的公理に違反するでしょう。条件付き確率のルールを使用するには、次のものが必要です。

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

これは、指定した不等式条件を使用できないことを意味します。（ちなみに、これは良い質問です。問題を探す確率則を精査しているのは良いことです。ほとんどの学生よりも厳格にこれらの問題を調査していることを示しています。）

追加のポイント：この状況、つまり確率のさまざまな特性の論理的な優先度について、もう1つポイントを付ける価値があります。確率論は、確率測度が実際に何であるかを特徴付ける公理のセットから始まることを忘れないでください。これらの公理から、公理から派生した定理である「確率の規則」を導き出すことができます。これらの確率の規則は、有効になるために公理と一致している必要があります。確率の規則が公理の1つと矛盾することに気付いた場合（たとえば、サンプル空間の確率が1よりも大きい場合）、これは公理を偽造することはありません- 確率規則を偽造します。したがって、たとえベイズのルールがそうであったとしても事後確率が1よりも大きい（そうではない）場合、これは事後確率が1よりも大きくなるという意味ではありません。ベイズのルールが有効な確率のルールではないことを意味するだけです。

— モニカを復活させる
ソース

最終分子はP（x）ですか？

— BallpointBen

まだP（a）を表示しています

— BallpointBen

分子のP（a）であると想定されています。不等式は、彼が質問で指定したように、P（a | x）> P（a）/ P（x）を持つことができないというOPを示しています。

— モニカを

ベイズの公式は、を超える値を与えることはできません。これを確認するための直感的な方法で表現することであるとして合計確率の法則を介して、ことを与えます $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— ディリップ・サルワテ
ソース

+1これは私にとって最も簡単な証拠です。

— Mehrdad

@Mehrdadありがとう。他の答えは、本質的に条件付き確率

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$ を超えることはできません

1

$1$ その結果を介して

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$ を超えることはできません

P (A)

$P(A)$ なぜなら

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$ そしてそれはそれでなければなりません

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ 、およびそれ自体はベイズの公式とはほとんど関係がありません（統計で使用され、事前確率から事後確率を導き出します）。

— ディリップサルワテ