ログコーシー乱数生成

密度のあるログコーシー分布から乱数を描く必要があります： 誰かが私を助けたり、私に方法を示すことができる本/紙を私に指摘したりできますか？

$$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{x\pi\sigma\left[1+\left(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma}\right)^2\right]}.$$

コーシー分布がある場合、変数にはログコーシー分布があります。したがって、コーシー確率変数を生成し、それらを累乗して、ログコーシー分布の何かを取得する必要があります。$X$$\log(X)$

逆変換サンプリングを使用してコーシー分布から生成できます。つまり、ランダムなユニフォームを分布の逆CDFにプラグインすると、得られるものはその分布になります。場所がでスケールがのコーシー分布にはCDFがあります。$\mu$$\sigma$

$$F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{1}{2}$$

この関数を反転させてそれを見つけることは簡単です

$$F^{-1}(y) =\mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(y-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$

したがって、場合、は、場所およびスケールコーシー分布があり、は、ログコーシー分布があります。いくつかのこの分布から生成するためのコード（使用せずに:)）$U \sim {\rm Uniform}(0,1)$μσEXP（Y$Y = \mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(U-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$\mu$$\sigma$$\exp(Y)$Rrcauchy

rlogcauchy <- function(n, mu, sigma)
{
    u = runif(n)
    x = mu + sigma*tan(pi*(u-.5))
    return( exp(x) ) 
}

注：コーシー分布は非常に長い裾を持っているため、コンピューター上で指数化すると、数値的に「無限」の値が得られる場合があります。それについてなすべきことが何かあるかどうかはわかりません。

また、log-cauchy変位値関数を直接使用して逆変換サンプリングを行うと、同じ問題が発生します。これは、計算を行った後、実際に同じ動作をすることになるためです-$\exp \left( \mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(U-\tfrac{1}{2}\right)\right] \right)$