とサンプリングコスト

次のシミュレーション問題に遭遇しました：既知の実数のセットが与えられた場合、分布はここで、は正の部分を示します。この分布をターゲットとするMetropolis-Hastingsサンプラーを考えることもできますが、アルゴリズムの次数をから。 $\{\omega_1,\ldots,\omega_d\}$ $\{-1,1\}^d$

P (X = (x_{1}, \dots, x_{d})) \propto (x_{1} ω_{1} + \dots + x_{d} ω_{d})_{+}

$\mathbb{P}(X=(x_1,\ldots,x_d))\propto (x_1\omega_1+\ldots+x_d\omega_d)_+$

(z)_{+}

$(z)_+$

z

$z$

O (2^{d})

$O(2^d)$

O (d)

$O(d)$

— 西安
ソース

これは、（重み観点から最良の場合はですが、最悪の場合は指数関数的なかなり明白な再帰サンプラーです。 $O(d)$ $\omega_i$

我々はすでに選択したと仮定し、と願いが選択する。を計算する必要がありますそしてを確率分母は、サンプル有効な選択に対してゼロ以外になります。 $x_1, \dots, x_{i-1}$ $x_{i}$

w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}) = \sum_{x_{i + 1} \in {- 1, 1}} \dots \sum_{x_{d} \in {- 1, 1}} {(\sum_{j = 1}^{d} ω_{j} x_{j})}_{+}

$w(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i) = \sum_{x_{i+1} \in \{-1, 1\}} \cdots \sum_{x_{d} \in \{-1, 1\}} \left( \sum_{j=1}^d \omega_j x_j \right)_+$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

\frac{w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, 1)}{w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, 1) + w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, - 1)} .

$\frac{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1)}{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1) + w(x_1, \dots, x_{i-1}, -1)}.$

x_{1}, \dots, x_{i - 1}

$x_1, \dots, x_{i-1}$

さて、もちろん、問題はどのようにを計算するかです。 $w(x_1, \dots, x_i)$

我々が持っている場合、その、次に先行するエントリ持つ任意の、したがっては次のようになります： $C := \sum_{j=1}^{i} \omega_j x_j \ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \ge 0$ $x$ $x_{1:i}$ $w$

\begin{aligned} \sum_{x_{i + 1}} \dots \sum_{x_{d}} ω \cdot x & = ω \cdot (\sum_{x_{i + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x) \\ = \sum_{j = 1}^{i} ω_{j} \underset{2^{d - i} x_{j}}{\underset{⏟}{(\sum_{x_{i + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x_{j})}} + \sum_{j = i + 1}^{d} ω_{j} \underset{0}{\underset{⏟}{(\sum_{x_{i + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x_{j})}} \\ = 2^{d - i} C . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} \omega \cdot x &= \omega \cdot \left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x \right) \\&= \sum_{j=1}^i \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{2^{d-i} x_j} + \sum_{j=i+1}^d \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{0} \\&= 2^{d-i} C .\end{align}$

逆の場合、、そのあり、したがって。 $C \le - \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \le 0$ $w(x_1, \dots, x_i) = 0$

それ以外の場合は、を使用して再帰する必要があります。 $w(x_1, \dots, x_i) = w(x_1, \dots, x_i, 1) + w(x_1, \dots, x_i, -1)$

メモリは問題ではなく、すべてのサブ計算を、でツリーにキャッシュできると仮定します。「nice」ケースの1つに到達するまで、その後呼び出しには一定の時間がかかります。（を選択するには、このツリー全体を計算する必要があります。）次に、この計算のツリーが構築されると、サンプラーは時間しかかかりません。問題は、ツリーを構築するのにどのくらいの時間がかかるか、またはそれと同じくらい大きいかどうかです。 $w(1)$ $w(-1)$ $x_1$ $w$ $O(d)$

もちろん、が並べ替えられている場合は、「素敵な」ケースに早くヒットします。です。 $\omega_i$ $\omega_1 \ge \omega_2 \ge \dots \ge \omega_d$

最良の場合は、です。次に、またはいずれかですぐに "nice"ケースにヒットするため、ツリーの構築には一定の時間がかかり、サンプラー全体では時間がかかります。 $\lvert \omega_1 \rvert > \sum_{j=2}^d \lvert \omega_j \rvert$ $w(1)$ $w(-1)$ $w$ $O(d)$

最悪の（ソートされた）場合は、です。次に問題は、ツリー全体の大きさはどれくらいかということです。 $\omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_d$

もちろん、最初に終了するパスはとの長さです。したがって、ツリーはその深さまで完成しているため、少なくともノードが含まれています。（それはもっとあります;ギャンブラーの破滅問題で使用されたもののような議論でおそらくそれを見つけることができますが、私はグーグルの2分間でそれを見つけることができず、特に気にしません– は悪いです足りる....） $(1, 1, \dots, 1)$ $(-1, -1, \dots, -1)$ $\lceil d/2 \rceil$ $O(2^{d/2})$ $2^{d/2}$

設定に非常に大きな少ししかない場合、これはおそらく実用的なアプローチです。もし同様の大きさの全てが、それは大規模なため、まだおそらく指数とあまりにも高価だ。 $\omega_i$ $\omega_i$ $d$

— ドゥガル
ソース

このビタビ型の除去をありがとう。「逆の場合」と、最初のケースの補集合

C_{i} \leq - \sum_{j = i + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\le -\sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

C_{i} \geq \sum_{j = i + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

— Xi'an

いいえ、補数ではありません。非常に大きい場合、トランケーションが適用されないこと、非常に小さい場合は常に適用されることがわかります。その間は、再帰して適用されるかどうかを判断する必要があります。

— Dougal