平均の2乗に対する偏りのない正の推定量

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我々は真（不明）との分布からのiidサンプルへのアクセス権を持っていると仮定平均と分散、と我々は推定したい。 $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

この量の偏りのない、常に正の推定量を構築するにはどうすればよいですか？

サンプルの二乗を取る平均、ESP、バイアスされていると量を過大評価します。場合 0に近いですし、大きいです。 $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

これはささいな質問かもしれませんが、私のグーグルスキルは私estimator of mean-squaredが戻ってくるだけで私を失望させていますmean-squarred-error estimators

それが問題を簡単にする場合、基礎となる分布はガウス分布であると見なすことができます。

解決：

の不偏推定構築することが可能である。クルムジーの答えを見てください $\mu^2$
の公平、常に正の推定構築することはできません真の平均が0であるとき、これらの要件が競合しているよう。ウィンクの答えを見る $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— ウィンク
ソース

代わりに、二乗平均の推定量または平均二乗の推定量を検索する可能性があります。あなたのタイトルを読んだときも（Googleと同じように）混乱していたので、より直感的になるように編集しました。

— Richard Hardy

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$\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

$\sigma^2$

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$

μ^{2}

$\mu^2$

— クルムジー
ソース

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\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

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(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winksこれが、これが不条理な不偏推定量の例であるまさにその理由です。

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

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に対して偏りがなく、常に陽性である推定量を生成することは不可能であるべきです。 $\mu^2$

真の平均が0の場合、推定量は期待値0を返す必要がありますが、負の数を出力することはできません。したがって、バイアスがかかるため、正の数を出力することもできません。したがって、この量の偏りのない、常に正の推定量は、サンプルに関係なく、平均が0のときに常に正しい答えを返さなければなりません。これは不可能に思えます。

$\mu^2$

— ウィンク
ソース

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ジムバーガーがこの事実を立証しているかなり古い論文がありますが、私はそれをたどることはできません。この問題は、モンテカルロでもロシアのルーレットのような偏りのない推定者とともに現れます。

— 西安