私は季節ではなく周期的な時系列をモデル化して予測しようとしています（つまり、季節に似たパターンがありますが、一定の期間ではありません）。これは、予測のセクション8.5で説明されているように、ARIMAモデルを使用して実行できるはずです。

データがサイクルを示す場合、の値は重要です。環状の予測を得るために、有することが必要であるP ≥ 2のパラメータのいくつかの追加の条件と一緒。AR（2）モデルの場合、サイクリック動作は、場合に発生φ 2 1 + 4 φ 2 < 0。$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

一般的なARIMA（p、d、q）の場合のパラメーターのこれらの追加条件は何ですか？私はどこにもそれらを見つけることができませんでした。

グラフィカルな直観

ではARモデル、巡回行動は特性多項式に複素共役根から来ます。最初に直感を与えるために、以下のインパルス応答関数を2つのサンプルAR（2）モデルにプロットしました。

1. 複雑なルーツを持つ永続的なプロセス。
2. 本当のルーツを持つ永続的なプロセス。

$j=1\,\ldots, p$、特性多項式の根は$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

詳細なAR（2）の例

AR（2）があるとしましょう：

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

任意のAR（p）をVAR（1）として書き込むことができます。この場合、VAR（1）表現は次のとおりです。

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

$\lambda$$\lambda^k$

$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

$0 \leq r < 1$

$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

付録

注：用語の混乱を招く警告！Aの特性多項式をAR（p）の特性多項式に関連付ける

別の時系列のトリックは、ラグ演算子を使用してAR（p）を次のように記述することです。

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

参考文献

プラド、ラケル、マイクウェスト、時系列：モデリング、計算、推論、2010