2つの離散フーリエ変換の類似性？

気候モデリングでは、地球の気候を適切に描写できるモデルを探しています。これには、半周期的なパターン（エルニーニョ南方振動など）の表示が含まれます。ただし、モデル検証は通常、比較的短い期間にわたって行われ、そこには適切な観測データがあります（過去150年以内）。これは、モデルが適切なパターンを表示しているが、位相がずれている可能性があることを意味します。そのため、相関などの線形比較では、モデルのパフォーマンスは良好ではありません。

このような周期的なパターンを検出するために、一般的に離散フーリエ変換が気候データの分析に使用されます（ここに例を示します）。検証ツールとして使用できる2つのDFTの類似性の標準的な尺度はありますか（つまり、モデルのDFTと観測のDFTの比較）。

2つの面積正規化DFTの最小値の積分を取ることは理にかなっていますか（絶対実数値を使用）。私はこのスコアをもたらすであろうと思う、X = $x\in[0,1]$$x=1\implies$まったく同じパターン、および$x=0\implies$全く異なるパターン。そのような方法の欠点は何でしょうか？

スペクトルコヒーレンスは、正しく使用すればそれを行います。コヒーレンスは各周波数で計算されるため、ベクトルです。したがって、加重コヒーレンスの合計が適切な尺度になります。通常、パワースペクトル密度のエネルギーが高い周波数でコヒーレンスに重みを付けます。そうすれば、時系列のその周波数のコンテンツが無視できる場合、大きな重みでコヒーレンスを重み付けするのではなく、時系列を支配する周波数での類似性を測定します。

したがって、簡単な言葉で-基本的な考え方は、信号の振幅（エネルギー）が高い周波数を見つけ（各信号を支配的に構成する周波数として解釈）、次にこれらの周波数の類似性をより高い重みで比較することです残りの周波数の信号をより低い重みで比較します。

この種の質問を扱う領域は、クロススペクトル分析と呼ばれます。 http://www.atmos.washington.edu/~dennis/552_Notes_6c.pdfは、クロススペクトル分析の優れた入門書です。

最適なラグ：ここでの私の答えも見てください：2つの時系列を可能な時差と相関させる方法

これにより、スペクトルコヒーレンスを使用して最適な遅延を見つけることができます。Rには、パワースペクトル密度、自動相関および相互相関、フーリエ変換、コヒーレンスを計算する機能があります。最大値を取得するには最適なラグを見つけるためにコードを正しく作成する必要があります。加重コヒーレンス。とはいえ、スペクトル密度を使用してコヒーレンスベクトルに重み付けするコードも記述する必要があります。その後、加重要素を合計し、平均化して、最適なラグで観察される類似性を取得できます。

ウェーブレット分析など、気候信号の検出/モデリングに別のアプローチを試しましたか？気候分析のDFTで発生する可能性のある大きな問題は、実際にあなたが言及することです：振動は完全に周期的ではなく、通常は異なる時間範囲を持っているため、実際には多くの異なる振動範囲を持つことができますが、フーリエ変換の観点からはかなり混乱します。

ウェーブレット分析は、さまざまな振動の時間範囲を確認できるため、気候信号により適しています。楽器によって異なる周波数が異なる時間に演奏されるのと同じように、ウェーブレット変換を使用して、異なる時間範囲で異なる周波数をチェックできます。

興味があれば、Lau＆Weng（1995）によるこの論文は、この方法についてのあなたの疑問のほとんどを消去するはずです。最も興味深い部分は、モデルのウェーブレット変換とデータのウェーブレット変換がほぼ直接比較可能であることです。モデルが予測する時間範囲を直接比較でき、そうでないスプリアス振動範囲をすべて除外できるからです。

PS：私はこれをコメントとして投稿したいということを付け加えなければなりません。実際にはOPが求めているものではないのですが、私のコメントは大きすぎて、次のように役立つ回答として投稿することにしました。 DFTの代替アプローチ。

私は、dftに代わるものとして、ウェーブレットとスペクトログラムに基づく分析の使用に賛成票を投じました。シリーズをローカライズされた時間周波数ビンに分解できる場合、非周期性と非定常性のフーリエ問題を軽減し、比較する離散化データの優れたプロファイルを提供します。

データが時間と周波数に対するスペクトルエネルギーの3次元セットにマッピングされると、ユークリッド距離を使用してプロファイルを比較できます。完全に一致すると、下限距離ゼロに近づきます。*同様のアプローチについて、時系列データマイニングと音声認識領域を調べることができます。

*ウェーブレットビニングプロセスは、情報コンテンツをある程度フィルタリングすることに注意してください。比較したデータに損失がない場合は、時間領域でユークリッド距離を使用して比較する方が適切な場合があります。