確率シンプレックスのいくつかの分布は何ですか？

ましょう次元の確率単純である、すなわち、ようであると。 K - 1 のx ∈ Δ K X I ≥ 0 Σ I X 、I = $\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

介して頻繁に（またはよく知られている、または過去に定義された）分布は何ですか？$\Delta_{K}$

明らかに、ディリクレ分布とロジット正規分布があります。この文脈で自然に出てくる他の分布はありますか？

これは、組成データ分析で研究されています。Aitchisonによる書籍： The Composition of Analysis of Compositional Dataがあります。

シンプレックスを定義する

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ インデックス$n$を使用して次元を示すことに注意してください！シンプレックスの要素の幾何平均を定義し、$x$として$\tilde{x}$。その後、我々は（Aitchisonによって導入）logratio変換として定義することができ$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$。この変換を R n上にある${\mathbb R}^n$、したがって、計算のためにあなたに任せる逆を持っています（使用できるこの変換の他のバージョンもあります。

これで、以下で定義された通常の（または何でも）分布を取得できます。 ${\mathbb R}^n$この逆変換を使用してシンプレックスの分布を定義できます。可能性は、それぞれ上のすべての多変量分布のために、無限です${\mathbb R}^n$ 、我々は単純に分布を得ることができます。

この投稿は、いくつかの例と、log-ratio変換の詳細で後ほど説明します。