GLM出力の分散パラメーター

私はRでglmを実行しました、そしてsummary()出力の下部近くに、それは述べています

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 28.35031)

私はいくつかのグーグル調査を行っており、標準誤差を合わせるために分散パラメーターが使用されていることを学びました。誰かが分散パラメーターとは何か、そしてそれをどのように解釈すべきかについて詳細を誰かが提供できることを望んでいますか？

これを調べる1つの方法は、さまざまなツールを使用して同じモデルをフィッティングすることです。これが1つの例です。

> fit1 <- lm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> fit2 <- glm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> summary(fit1)

Call:
lm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.79424 -0.21874  0.00899  0.20255  0.73103 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3068 on 144 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8673,     Adjusted R-squared: 0.8627 
F-statistic: 188.3 on 5 and 144 DF,  p-value: < 2.2e-16 

> summary(fit2)

Call:
glm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-0.79424  -0.21874   0.00899   0.20255   0.73103  

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 0.09414226)

    Null deviance: 102.168  on 149  degrees of freedom
Residual deviance:  13.556  on 144  degrees of freedom
AIC: 79.116

Number of Fisher Scoring iterations: 2

> sqrt( 0.09414226 )
[1] 0.3068261

したがって、線形モデルの残留標準誤差はglmからの分散の平方根にすぎないことがわかります。つまり、分散（ガウスモデルの場合）は平均二乗誤差と同じです。

データに共変量情報がない単純な状況を推測してみましょう。観測値ます。$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \in \mathbb{R}$

正規分布を使用してデータをモデル化している場合は、おそらく次のように記述します

$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$、

そして、多分最尤推定を介してとを推定しようとします。$\mu$$\sigma$

ただし、データがカウントデータであるため、通常は分散されていないとします。このケースは継続的でもないため、代わりにポアソン分布を使用できます。

$Y_i \sim Poisson(\lambda)$。

ただし、ここにはパラメータが1つしかありません。単一のパラメーター、およびによって平均と分散の両方を決定します。これは、ベルヌーイまたは二項分布を使用する場合にも発生します。ただし、データの分散が大きいか小さい可能性があります。おそらく、観測値が本当にiidではないか、選択した分布が十分に現実的ではなかったためです。$\lambda$$\mathbb{E}[Y_i] = \lambda$$Var[Y_i] = \lambda$

そのため、分散パラメータを追加して、平均と分散を同時にモデリングする際の自由度を高めます。GLMに関するどんな教科書でも、それが何であるかについてより詳細で数学的説明が得られると思いますが、その動機は、このようにかなり単純だと思います。