古典的な感覚と主観的な感覚の両方の確率を同時に考えることはできますか？

私は統計学の学生です。私は、確率の古典的かつ客観的な定義と、それらが頻出主義およびベイズの推論とどのように関連しているかを理解しようとしています。なぜ古典確率が頻出推論と対になるのか、ベイズ推論が主観確率と対になるのかは私には明らかではありません。一部のソースでは、Wellekによるこのペーパーから次のようなステートメントを読みました（申し訳ありませんが、ペイウォールの背後にないバージョンは見つかりませんでした）。

頻度主義の観点から見ると、母集団パラメーターは、意味のある確率ステートメントを作成できない観測不可能な定数です。

これが繰り返し試行としての確率の古典的な定義によるのか、それとも頻出主義推論の制約によるのかを理解しようとしています。

私の特定の質問は、読者が先にスキップすることを好む場合は最後にありますが、それが役立つ場合に備えて私の考えを共有したいと思いました。

確率変数考えます。である確率を科学的に経験的に測定したい場合、古典的な確率の定義では、実験を何度も繰り返して集計する必要があると思います。主観的な定義から、私はまず自分自身の信念または合理的なエージェントの信念に相談することが期待されていると思います。私がより多くのデータを収集すると、それらの信念は合理的に変更されます。$X$$P(X=x)$

今では、は観測できないように思われるので、私の古典的な経験的手順で値を計算する方法はありません。対照的に、私はように直接観察できないものを常に信じることができるため、ように観察できるものとように観察できないものとの関係を知っていると仮定すると、これによって信念を持つことができます私は合理的に時間をかけて変更することができました。$H_0|X$$P(H_0|X)$$H_0|X$$X$$H_0$$P(H_0|X)$

私は、にとって、は宇宙の固定プロパティであると主張することもできます。そのため、たとえ観察できたとしても、は固定であるという考えに行き詰まっているかもしれません。しかし、コインを投げるという典型的な実験について考えて、それを変更して、私には大量のクォーターがあり、フリップを記録するたびに常に新しいものを使用すると言ったとしたらどうでしょう。したがって、その場合、基になるパラメーターがコイン固有であると思われますが、直接観察することはできません。したがって、は意味がありますが、を直接観察して計算することはできません。$H_0$$H_0$$p$$P(p=0.5|X)$$p$

だから私のハイレベルの質問に戻ります。

1. ベイジアン推論手順を頻出者として解釈する意味のある方法はありますか？

2. 確率が確率の古典的な定義に従って定義されているベイジアン推論を行う意味のある方法はありますか？

以前に非常によく似た質問があります： 確率は基本的に参照クラス（実際または想像）についてですか？ そして、私は本当にここで両方に答えようとしています。確率とは何ですか。

数学的な答えは、通常の確率公理を満たすものが確率であるということです。しかし、それは本当に私たちの質問に答えません！我々はであるため、我々は確率をどのように使用できるか、どのように我々は、確率を解釈することができます。私の考えでは（今日、2018年3月7日、明日...）確率のすべての概念（頻度、主観、個人など）には、共通の意味を持つ1つの重要な共通点があります。それがキャリブレーションまたはリファレンスクラスの概念です。キャリブレーションについては、たとえば、モデルの予測確率のキャリブレーションの視覚化を参照する か、このサイトで「キャリブレーション」を検索してください。参照クラスについては、最初のリンクされた投稿。

キャリブレーションは、キャリブレーション対象の参照クラスの種類が異なります。

1. 古典的な頻度主義の確率については、同じコインまたはサイコロを繰り返し投げるなど、経験的に観察可能な類似のイベントの明確に定義されたセットに対して調整しています。これらの確率は、ほとんどの合理的な人が同意するため、客観的であると言われています。
2. ブッキーは彼らのパンターのプールに対して調整する必要があるので、長期的には彼の勝利と損失のバランスが取れます。集団としての彼のパンターのプールが1）の意味でひどく調整されている場合、ブックメーカーはそれに調整する必要があります。別の言い方をすれば、ブッキーオッズ（または確率）は実際には市場価格であるということです。
3. 主観的確率は、結果が不確実な事象の同等クラスを形成する判断を下す人によって形成されます。イベントは、その人が交換可能と判断した場合、同じ等価クラスに属します。つまり、この人にとって、を含むがを含まない賭けのシステムでは、を交換し、同じ価格で賭けを評価することができます。そのようなイベントは同じ確率でなければなりません。したがって、等価クラスは同じ確率を持つと判断されたイベントで構成され、キャリブレーションはクラス内のイベントの長期実行頻度に反しています。$A,B$$A$$B$$A$$B$

確率にはヤヌスの面があると言えます。

（または、確率は多頭のトロールであると言う方が良いかもしれません！）

この観点では、非常に客観的なものから非常に主観的なものまで、一連の解釈があるようです！個別の異なる解釈以上のもの。確率についての多くの実際的な議論は、この概念、例えば、北海での爆発の確率とは何ですか？エコフィスクフィールドでのブラボー噴出の直前https://en.wikipedia.org/wiki/Ekofisk_oil_fieldこれはストーティングで議論され、1人のメンバーがブローアウトリスクについて何が行われたかを尋ね、メキシコ湾の歴史的経験から得られた確率について言及しました。ジャールト石油相は、3人の子供を持つ女性を思い起こさせ、それ以上は欲しくないと語ったと答えた。 「北海で中国人が生まれる」。それでは、メキシコ湾での経験を北海の参照クラスの形成に使用するか、それとも他の方法で策定するか、メキシコ湾と北海のブローアウトを一緒にまたは個別に較正する必要がありますか？そのような質問に対する完全に客観的な答えはなく、たとえ周波数の解釈を目的としても、そのような評価は部分的に主観的になります。

したがって、「主観的確率」の「主観性」とは、合理的な人々がさまざまな評価を受け、さまざまな方法で参照クラスを定義できることを意味します。主観的確率を意味のあるものにするためには、参照クラス（またはキャリブレーション手順）をできるだけ明示的にして、議論と批判を可能にすることが期待されます。それ以外の場合は、推測数のゲームに退化するだけです。

したがって、この意味で（主観的）確率は、確率を調整できるイベントに対してのみ意味があります。これが不可能な（私が信じている）1つの例は、です。キャリブレーションは不可能であるため、そのような確率を意味のあるものにすることはできません。この意味で、我々は、イベントの（主観）probabiltyについて話すことができるの発生またはない場合にのみ、最終的にはそれが、少なくとも原理的には可能であるが、少なくともことが知られ、またはされます。$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}\P(\text{Does God exist})$$E$$E$

だからあなたの最初の質問に：

頻度主義の観点から見ると、母集団パラメーターは、意味のある確率ステートメントを作成できない観測不可能な定数です。

まあ、頻度主義者は未知の（しかし固定された）パラメータ値について確率の記述をしないことを選択しますが、彼はその選択を強制されますか？今、彼はそうではありません。例として、パラメーターが20歳のノルウェー人男性の平均の身長を表すとします。正確な値がわからないので、を含むイベント（命題）に賭けを設定することは理にかなっています（たとえば。しかし、上で述べたように、「が最終的に知られる場合にのみ、イベント（主観的）確率について話すことができます...」。それはの場合ですか$\mu$$mu$$E=\{ \mu <= 1.73\text{m}\}$$E$$E$$E$？定式化されていませんが、deFinettiのようなベイジアンはこの問題について深く考えており、次の解決策を考え出しました。ましょ 20歳のノルウェー人の男性のランダムなサンプルの高さを観察すること。サンプルを取得する前に、可能な値についていくつかの期待があります。ランダムなサンプルであること、の分布なります交換可能。deFinettiは彼の表現定理を証明しました。（無限に）交換可能なは、例として（およびおそらくとして他のいくつかのパラメーター）の潜在的な変数があり、事前分布があれば、条件付きで独立として表すことができます。$X=(X_1, X_2, \dotsc, X_n, \dotsc)$$X$$X$$\mu$$\sigma$この潜在的な変数/パラメータについて。このようにして、に（事前の）確率分布を作成し、それを未知の定数と見なすことができます！それは奇妙に見えることができますが、この分布を考えることによって解決することができます認識論的、ではないaleatori。このようにして、へのベットをへのベットに変換できます。$\mu$$\mu$$X$

（本当に終わっていません、少し深夜です...）これが役に立てば幸いです。自分のために自分の考えを明確にするためにこれを本当にたくさん書いています...このセットアップを数学的に厳密にするためにやらなければならないことがたくさんあります。それができるといいのですが。誰かに興味深い関連参照がある場合は、チャイムしてください...