ランダム変数を独自のpdfまたはcdfにプラグインする背後にある直感的な意味は何ですか？

pdfは通常、として記述されます。小文字のは、そのpdfを持つ確率変数実現または結果として扱われます。同様に、cdfはとして記述され、意味を持ちます。ただし、スコア関数の定義やcdfが均一に分布しているというこの導出など、状況によっては、確率変数が独自のpdf / cdfにプラグインされているように見えます。そうすることで、 $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ 新しいランダム変数 または。それ自体が確率変数になり、後者の場合、「解釈」は私にはナンセンスのように見えるので、これをpdfまたはcdfと呼ぶことはもうできないと思います。 $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ $F_X(X)=P(X<X)$

さらに、上記の後者の場合、「確率変数の累積分布関数は一様分布に従う」という文を理解していることを確信できません。cdfは関数であり、確率変数ではないため、分布はありません。むしろ、一様な分布を持つのは、独自の累積分布関数を表す関数を使用して変換された確率変数ですが、この変換がなぜ意味があるのかはわかりません。同じことがスコア関数にも当てはまります。ここでは、独自の対数尤度を表す関数にランダム変数を挿入します。

私はこれらの変換の背後にある直感的な意味を考え出そうと何週間も頭を悩ませてきましたが、行き詰まっています。どんな洞察もいただければ幸いです！

— まい
ソース

表記が混乱するかもしれません。たとえば、

は、測定可能な関数を

適用する場合とまったく同じように意味があります。正しく解釈するには、確率変数が何であるかを非常に明確にする必要があります。任意のランダム変数のための

関数

のための

明らかにランダム変数であり、従って分布有し

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

（「

」の「

」という記号の2つの異なる意味に注意してください。）

は、

に連続分布がある場合にのみ均一です。

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

これは実際には測定理論上の問題ではありません。理解するには、「測定可能性」への言及をすべて無視しても問題ありません。大学院のキャリアの早い段階で少しのセット理論を学ぶことから利益を得るかもしれません：ほとんどの人はこの基本的な（そしてユビキタスな）数学用語と表記法が本当に意味するところを学ぶので、それを学ぶのを延期しないのが最善です。

— whuber

なぜこのようなクレイジーなことをするべきかについての言葉かもしれません：RVを独自の密度に挿入する!!？！1つの例：Xの密度を推定したい場合、

積分することにより、どれほど優れているかを測定できますが、これは「不公平」です。多くのデータ例があります（つまり、真の密度は小さいです）。したがって、「公正な」評価は、真の密度によって用語に重みを付けることです。これは...多かれ少なかれ、自分の密度にRVを挿入する効果である

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— ファビアン・ヴェルナー

stats.stackexchange.com/questions/324768/…

— Fabian Werner、

回答:

$f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

$U(0,1)$ $F_X(x)$

— クルムジー
ソース

F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

X

$X$

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

$X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

$F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

$\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

$f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[@whuberと@knrumseyがそれぞれの回答を入力しているときに回答が入力されました！]

— 西安
ソース

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

はい、私はそれらが同じものではないことに同意します。最初のインスタンスではrvではありませんが、2番目のケースではrvです。

— 2018

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$