残差の不均一分散性の測定

このウィキペディアのリンクには、OLS残差不均一性を検出するための多くの手法がリストされています。異分散の影響を受ける領域を検出するのに、どのハンズオン手法がより効率的かを知りたいと思います。

たとえば、ここではOLSの「残差vs適合」プロットの中央領域は、プロットの側面よりも高い分散を持っているように見えます（事実は完全にはわかりませんが、質問のためだと仮定しましょう）。確認するには、QQプロットのエラーラベルを見ると、それらが残差プロットの中央のエラーラベルと一致していることがわかります。

しかし、分散が著しく高い残差領域をどのように定量化できますか？

この問題には、探索的な感覚があります。ジョン・テューキーは、彼の古典的な探索的データ分析で異分散性を探索するための多くの手順を説明しています（Addison-Wesley 1977）で。おそらく最も直接的に役立つのは、彼の「さまよえる回路図プロット」の変形でしょう。これは、1つの変数（予測値など）をビンにスライスし、m文字の要約（箱ひげ図の一般化）を使用して、各ビンの他の変数の位置、広がり、および形状を示します。m文字の統計は、偶然の偏差ではなく全体のパターンを強調するためにさらに平滑化されます。

のboxplot手順を活用して、クイックバージョンを作成できますR。シミュレートされた強く不均一なデータで説明します。

set.seed(17)
n <- 500
x <- rgamma(n, shape=6, scale=1/2)
e <- rnorm(length(x), sd=abs(sin(x)))
y <- x + e

OLS回帰から予測値と残差を取得しましょう。

fit <- lm(y ~ x)
res <- residuals(fit)
pred <- predict(fit)

ここに、予測値に等しいカウントのビンを使用したさまよう図があります。私lowessは迅速で汚れたスムーズに使用します。

n.bins <- 17
bins <- cut(pred, quantile(pred, probs = seq(0, 1, 1/n.bins)))
b <- boxplot(res ~ bins, boxwex=1/2, main="Residuals vs. Predicted",
             xlab="Predicted", ylab="Residual")
colors <- hsv(seq(2/6, 1, 1/6))
temp <- sapply(1:5, function(i) lines(lowess(1:n.bins, b$stats[i,], f=.25), 
        col=colors[i], lwd=2))

青い曲線は中央値を滑らかにします。その水平方向の傾向は、回帰が一般に適切であることを示しています。他の曲線は、ボックスの端（四分位）とフェンス（通常は極端な値）を滑らかにします。それらの強力な収束とその後の分離は、不均一分散性を証明し、それを特徴付けて定量化するのに役立ちます。

（予測値の分布を反映する水平軸の非線形スケールに注意してください。もう少し作業を行うと、この軸を線形化できます。これは便利な場合があります。）

通常、不均一分散はBreusch-Paganアプローチを使用してモデル化されます。次に、線形回帰の残差は二乗され、元の線形モデルの変数に回帰されます。後者の回帰は、補助回帰と呼ばれます。

$nR^2_a$$n$$R^2_a$$R^2$補助回帰からのは、等分散性の帰無仮説の検定統計量として機能します。

目的に合わせて、このモデルの個々の係数に注目して、どの変数が高または低分散結果を最も予測するかを確認できます。