指数近似の残差平方和を最小化する方法は？

次のデータがあり、負の指数関数的成長モデルを当てはめたいと思います。

Days <- c( 1,5,12,16,22,27,36,43)
Emissions <- c( 936.76, 1458.68, 1787.23, 1840.04, 1928.97, 1963.63, 1965.37, 1985.71)
plot(Days, Emissions)
fit <- nls(Emissions ~ a* (1-exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.55))
curve((y = 1882 * (1 - exp(-0.5108*x))), from = 0, to =45, add = T, col = "green", lwd = 4)

コードは機能しており、フィッティングラインがプロットされます。ただし、フィットは視覚的には理想的ではなく、残差平方和は非常に大きいようです（147073）。

どうすればフィット感を改善できますか？データはより良く適合しますか？

ネット上でこの課題に対する解決策を見つけることができませんでした。他のウェブサイト/投稿への直接のヘルプまたはリンクは大歓迎です。

r nonlinear-regression fitting nls

— ストロミ
ソース

あなたは、回帰モデルを検討している場合この場合、

、どこ

、その後、あなたが同様の推定を取得します。信頼領域をプロットすることにより、これらの値がコンフィンデンス領域にどのように含まれているかを観察できます。点を補間するか、より柔軟な非線形モデルを使用しない限り、完全な適合は期待できません。

{Emissions}_{i} = f ({Days}_{i}, a, b) + ϵ_{i}

$\text{Emissions}_i=f(\text{Days}_i,a,b)+\epsilon_i$

ϵ_{i} \sim N (0, σ)

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma)$

「負の指数モデル」は質問で説明されているものとは異なるものを意味するため、タイトルを変更しました。

— whuber

質問を明確にしてくれてありがとう（@whuber）、そして答えてくれてありがとう（@Procrastinator）。信頼領域を計算してプロットするにはどうすればよいですか。そして、より柔軟な非線形モデルは何でしょうか？

— -Strohmi

追加のパラメーターが必要です。 で何が起こるか見てみましょう

fit <- nls(Emissions ~ a* (1- u*exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.1, u=.5));  beta <- coefficients(fit); curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T)

。

— whuber

@whuber-答えとしてそれを投稿すべきでしょうか？

— -jbowman

（負の）指数則はの形式を取ります。あなたは内のユニットの変更を可能にするときと、に言っても、値と、そして法律がのように表現されます $y=-\exp(-x)$ $x$ $y$ $y = \alpha y' + \beta$ $x = \gamma x' + \delta$

α y^{'} + β = y = - \exp (- x) = - \exp （ - γ {バツ}^{'} - δ ） 、

$\alpha y' + \beta = y = -\exp(-x) = -\exp(-\gamma x' - \delta),$

これは代数的に等価です

y^{'} = \frac{- 1}{α} \exp （ - γ {バツ}^{'} - δ ） - β = a （ 1 - あなたは \exp （ - b {バツ}^{'} ） ）

$y' = \frac{-1}{\alpha} \exp(-\gamma x' - \delta) - \beta = a\left(1 - u\exp(-b x')\right)$

3つのパラメータを使用して、、及び。我々が認識することができるスケールのパラメータとして、のスケールパラメータとして、及び由来するように位置するためのパラメータ。 $a = -\beta/\alpha$ $u = 1/(\beta\exp(\delta))$ $b = \gamma$ $a$ $y$ $b$ $x$ $u$ $x$

経験則として、これらのパラメーターはプロットから一目で識別できます。

パラメーターは、水平漸近線の値で、少し下回ります。 $a$ $2000$
パラメータは、曲線が原点から水平漸近線まで上昇する相対量です。ここで、上昇はそのため少し未満である。比較的、それは漸近線の約です。 $u$ $2000 - 937$ $0.55$
なぜなら、の3倍の値が等しく曲線は約上昇しているべきであるまたはの合計。からほぼへの上昇のは、年頃のことです。プロット全体でスキャンすると、これが取っ示してに日間。レッツ・コール、それを簡略化のため、そこから $\exp(-3) \approx 0.05$ $x$ $1/b$ $1-0.05$ $95\%$ $95\%$ $937$ $2000$ $1950$ $20$ $25$ $24$ 。（指数スケールを目で見るこの方法は、指数プロットを多く使用する一部のフィールドでは標準です。） $b \approx 3/24 = 0.125$ $95\%$

これがどのように見えるか見てみましょう：

plot(Days, Emissions)
curve((y = 2000 * (1 - 0.56 * exp(-0.125*x))), add = T)

眼球フィット

スタートには悪くない！（でもタイピングにもかかわらず0.56の代わりに、0.55とにかく、粗近似をした、）私たちは、とそれを磨くことができますnls：

fit <- nls(Emissions ~ a * (1- u * exp(-b*Days)), start=list(a=2000, b=1/8, u=0.55))
beta <- coefficients(fit)
plot(Days, Emissions)
curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T, col="Green", lwd=2)

NLSフィット

の出力にnlsは、パラメーターの不確実性に関する広範な情報が含まれています。 例えば、単純なsummaryは、推定の標準誤差を提供します：

> summary(fit)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
a 1.969e+03  1.317e+01  149.51 2.54e-10 ***
b 1.603e-01  1.022e-02   15.69 1.91e-05 ***
u 6.091e-01  1.613e-02   37.75 2.46e-07 ***

推定値の共分散行列全体を読み取って作業できます。これは、同時信頼区間の推定に役立ちます（少なくとも大きなデータセットの場合）。

> vcov(fit)
             a             b             u
a 173.38613624 -8.720531e-02 -2.602935e-02
b  -0.08720531  1.044004e-04  9.442374e-05
u  -0.02602935  9.442374e-05  2.603217e-04

nls パラメーターのプロファイルプロットをサポートし、不確実性に関するより詳細な情報を提供します。

> plot(profile(fit))

$a$

プロファイルプロット

$2$ $1945$ $1995$

— ウーバー
ソース

res <- residuals(fit); res %*% res

u

$u$

2724

$2724$

147073

$147073$

すべてが順調です。しかし、OPには指数モデルを選択する何らかの理由があったのかもしれません（または、それがよく知られているという理由だけかもしれません）。最初に、指数モデルの残差を調べる必要があると思います。潜在的な共変量に対してそれらをプロットして、大きなランダムノイズだけでなく、そこに構造があるかどうかを確認します。より洗練されたモデルに飛び込む前に、より手の込んだモデルが役立つかどうかを確認してください。

— マイケルR.チャーニック

x

$x$

私はあなたの答えを批判していませんでした！残差プロットは見られませんでした。私が示唆していたのは、残差対潜在的な共変量のプロットがより良いモデルを見つけるための最初のステップであるべきだということです。私がそこに我慢する答えがあると思ったら、定数として私のポイントを上げるのではなく、答えを出したでしょう。私はあなたが素晴らしい反応をしたと思い、私はあなたに+1を与えた人の一人でした。

— マイケルR.チャーニック