どのような分布形態が「ピタゴラスの期待」を生み出しますか？

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ましょと同一の不特定の分布形状からではなく、異なるパラメータ値のための余裕で生成独立した連続的な確率変数です。許容されるすべてのパラメーター値について、次のサンプリング確率が保持されるパラメトリック分布形式を見つけることに興味があります。 $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P (X > Y | θ_{X}, θ_{Y}) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

私の質問：誰もがこれが当てはまる継続的な分布形態を教えてくれますか？これにつながる（重要な）一般的な条件はありますか？

私の予備的な考え：両方のパラメーターにゼロ以外の定数を掛けると、確率は変化しないため、が何らかのスケールパラメーターであることが理にかなっています。 $\theta$

probability distributions

— モニカを復活させる
ソース

1

たぶん、この意志のヘルプ：en.wikipedia.org/wiki/...

— ジョン・コールマン

1

この質問のコンテキストまたは参照を提供できますか？

— 西安

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2つの指数確率変数を取得すると、およびさて、次に

X \sim E (θ_{X}) X \sim E (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P (X > Y | Y = y) = \exp {- θ_{X} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

E^{Y} [\exp {- θ_{X} Y}] = \int_{0}^{\infty} \exp {- θ_{X} y} θ_{Y} \exp {- θ_{Y} y} d y = \frac{θ_{Y}}{θ_{X} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

X \sim E (θ_{X}^{- 2}) X \sim E (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

より興味深い質問は、これがそれが機能する唯一の可能な配布のケースであるかどうかです。（たとえば、これが機能するガンマファミリの唯一の要素です。）スケールファミリ構造を仮定すると、および基になる密度に必要かつ十分なのは、 $f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

しかし、一般的な答えは「いいえ」です。@ soakleyの答えで述べたように、これはワイブルでも機能します。これはすべての（およびワイブルは指数のべき乗）。実施例のより一般的なクラスは、このようにすることによって提供されるすべての狭義増加関数の、、我々が持っているため、上記のような指数関数である

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P (X^{'} > Y^{'}) = P (ϕ (X) > ϕ (Y)) = P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— 西安
ソース

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場合あるワイブル及び独立ワイブルある、アルファは形状パラメータであり、ベータは、スケールパラメータであり、それは知られていますその $X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

P [X > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

これは、西安の答えで与えられたのと同じアプローチに従って導き出すことができます。

ここで、と両方についてします。場合スケールを持つパラメーター及びスケールパラメータを有する我々は $\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

P [X > Y] = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— ソークリー
ソース

（+1）：質問で採用されたパラメーター化のあいまいな概念を考えると、すべてのに対しておよびをパラメーター化できます。したがって、結果はすべての当てはまります。

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— 西安

確かに、ちょうどあなたが示したように。私は、OPがパラメーターにより直接的なものを望んでいると思いました。

— -soakley