並列の抵抗の分散

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抵抗Rのセットがあり、そのすべてが平均μと分散σで分布しているとします。

次のレイアウトの回路のセクションを考えてみましょう：（r）|| （r + r）|| （r + r + r）。各部品の等価抵抗は、r、2r、および3rです。各セクションの分散は次のようになり $σ^2$ 、 $2σ^2$ 、 $3σ^2$ 。

回路全体の抵抗の変動はどのくらいですか？

数百万点をサンプリングした後、分散は約であることがわかりました $.10286\sigma^2$ 。

この結論に分析的にどのように到達するのでしょうか？

編集：抵抗値は、いくつかの平均抵抗rと分散で正規分布していると想定されています $σ^2$ 。

probability sampling variance

— lrAndroid
ソース

1

これが最初から適切なモデルであるとは思いません。熱回路ノイズのナイキストジョンソン理論を知っていますか？意図的に何か違うことをしているのであれば、その動機を見るのは興味深いでしょう。それ以外の場合は、より標準的なモデルを検討する価値があります。:)

— 枢機卿

ええ、私が答えへの私の試みを書いている間に、私はモデルがポーズをとられたので明らかに扱いにくいことにも気づきました。しかし、これは実際的な問題というよりはむしろ学術的な問題に近いと思いました（結局、彼らはシミュレーションを行っています）。

— ネストル2012

分散としてsigmaを使用したことに対する私の謝罪、私は元々VARを使用し、誰かがそれをsigmaに編集しました。

— lrAndroid 2012

更新していただきありがとうございます。あなたが質問に少しだけ追加したいのであれば、私はこの質問の背後にある動機にまだ興味があります。:)

— 枢機卿

9

回路全体の等価抵抗は、解き一つは、前提と、いくつかの独立したランダム変数の、中心と分散を有する。 $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

さらに指示がないと、の分散を計算できないため、さらに進むために、のレジームを検討し次に、したがって一つは、見ているさらに、したがって、限界 $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ 、およびこれらの漸近形とは、並列の任意の数の抵抗に一般化できます。それぞれは、直列の基本抵抗の結果であり、基本抵抗は独立しており、それぞれ平均および分散。次に、、ここで

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— した
ソース

8

正確な答えはとだけに依存するとは思いません。あなたがサンプリングしたとき、私はあなたがいくつかの具体的な分布-おそらく正規分布を使用したに違いないと思いますか？いずれの場合でも、回路の抵抗の平均と分散を線形近似で計算できます。その場合、分布の正確な形式は関係ありません。 $\mu$ $\sigma^2$

回路の抵抗はです。線形近似では、平均および分散を持つ確率変数の逆数の平均および分散は、それぞれおよびです。したがって、平均が、および分散と分散、とはそれぞれ、平均してと分散 $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ 。次に、その逆数を取ると、の平均と分散が得られます、結果と一致しています。 $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— ジョリキ
ソース

もちろん、これは抵抗が独立したランダム変数であることを前提としています。

@ロバート：はい（むしろ抵抗）。これは、質問の分散、、およびの計算ですでに想定されており、物理的に理にかなっています（ただし、同じ生産バッチからすべての抵抗を取得すると、それらの抵抗はある程度相関します））。

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

もちろん、実際の設計では、抵抗は独立したrvとはかけ離れています。実際、いくつかの要素グループを互いに追跡させるために、多くの作業がレイアウトに組み込まれています（当然、「マッチング」と呼ばれます）。

1

あなたは使用している？私はこれを書くことに慣れています。

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat：もちろん、あなたはについてはまったく正しいです-私は質問で使用された表記法を考えずに採用しました。

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki '19

5

これは、抵抗の分布の形状に依存します。制約があるとは思いますが、分布を知らなければ平均抵抗すら言えません。

それで、扱いやすい分布を選びましょう：を1つの抵抗の抵抗の標準偏差とします。抵抗をとし、各符号は確率発生します。これにより、考慮すべきケース、またはいくつかのケースを組み合わせる場合はます。もちろん、抵抗は独立していると仮定します。 $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

およびを選択した場合、平均は（よりわずかに低い）で、分散はです。とを選択すると、分散はます。 $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

以下は、平均がで分散が場合の分散間の比率のべき級数展開です。。場合小さい場合、支配的な用語である。 $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

技術的に尋ねる質問は分布に依存しますが、標準偏差が平均と比較して小さい状況におそらく興味があります。分布に依存しない明確な制限があると思います。回路の抵抗の依存性を、各部分の抵抗の関数として線形化します。

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

この特定の回路では、スケーリングされた偏微分は、および $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— ダグラス・ザレ
ソース

1

これは私に多変量デルタ定理を思い出させます、すなわち、はそれぞれ平均と分散、そしては、、ここでおよび。最終的な答えは@Douglas ZareとOPと同じ、つまり0.1028です。

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

私がそれを推論したように、これは長い答えですが、誰かが私の試みから始めるより良い何かを思いつくかもしれないと警告します（これは最適ではないかもしれません）。また、私は元のOPの質問を誤解し、抵抗が正常に分布していると言っていたと思いました。とにかく答えは残しておきますが、それは根本的な仮定です。

1.問題の物理的な理由

私の推論は次のとおりです。並列の抵抗の場合、等価抵抗は次ので与えられることを思い出してください。 $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

ここで、は回路の各部分の抵抗です。あなたの場合、これは私たちに与えます $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ ここでは抵抗が1つの回路の部分であり、したがって平均および分散正規分布を持ち、同じ理由では2つの抵抗を持つ回路の部分の等価抵抗、そして最後に、は、3つの抵抗を持つ回路の部分の等価抵抗です。分布を見つけ、そこからその分散を取得する必要があります。

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2.分布を取得する $R_{eq}$

分布を求めるための一つの方法は、注目することによってである：ここから、（これはベイズの定理によって得られた）、、、および（物理的にもっともらしい）の間の独立性は、これをで置き換え、3つの抵抗間の独立性の別の結果は、ことに注意してください

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ 、次に、最後の問題は、つまりrvの分布。この問題は、ここで見つけた問題に似ていますが、式のを置き換えるます。定数によって、たとえば。上記と同じ引数に従うと、残りは明らかに分布：小さな問題を除いて、既知の分布を交換から得ることができることを指摘することによって

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ はガウス分布なので、基本的に確率変数の分布を見つける必要がありますここ、とは定数です。そして平均でガウスで、分散。私の計算が正しければ、この分布は次のようになりますここで、ようの分布は以下のようになり

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ ここでおよびです。問題は、これが式積分を解くために分析的に扱いやすいかどうかわからないということです。これにより、式の結果を置き換えることによって問題を解決することができます。少なくとも私にとっては、この夜はそうではありません。

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— ネストル
ソース

抵抗が負にならない場合でも、正規分布を想定していますか？私の推測では、これにより回路の分散が発散します。

— ダグラスザレ2012

1

私も知っています。私も困惑しましたが、実際にはと値に本当に依存しています。場合はと、我々はモデルを「保存」することができます。通常の状態では、抵抗のばらつきはそれほど大きくないため、最後の仮定は明らかに満たされます。これは、人々が高さを通常のランダム変数としてモデル化したときに最初に私を悩ませたものでもありましたが、私がここで与えたのと同じ理由で、Stack-exchangeの何人かの人々が私にそれを受け入れました:-)

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— ネストル2012

うーん、通常の高さのモデリングは非常に悪いので、明らかに通常ではない分布の例として使用します。同じ遺伝的背景を持つ健康な成人男性の集団があれば、それは恐ろしいことではないでしょう。しかし、これは大丈夫だと生物学者に聞きたいです。各骨のサイズが独立していると私が頻繁に聞いた理由はまったくナンセンスです。

— ダグラスザレ2012

抵抗が通常は分散されていないことに気づきました（元のOPの回答のどこで抵抗を読んだかを確信できましたが、それは私の想像でした）。

— ネストル