ランダム対称行列を生成する場合、正定である可能性はどのくらいですか？

いくつかの凸最適化を実験していたときに、奇妙な質問を受けました。質問は：

ランダム（標準正規分布など）で対称マトリックスを生成するとします（たとえば、上三角マトリックスを生成し、下半分を埋めて対称であることを確認します）。これは正定マトリックスである可能性があります？とにかく確率を計算する方法はありますか？ $N \times N$

— ハイタオドゥ
ソース

シミュレーションを試してください...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsenありがとう、しかし、すべての固有値が0より大きい可能性は何だろうと思っています。

— ハイタオドゥ

答えは、マトリックスの生成方法によって異なります。たとえば、ある方法では、ある分布に従って

実固有値を生成し、その対角行列をランダムな直交行列で共役します。これらの固有値がすべて正の場合にのみ、結果は正定になります。ゼロに関して対称な分布に従って固有値を独立して生成する場合、その可能性は明らかに最大

です。PDマトリックスを生成するには、固有値を適切に選択してください！（迅速な作業のために、多変量正規データの共分散などの行列を作成します。）

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

ない質問への答えは尋ねたが、ノートでは第1の行列のシミュレートした場合、その

の各エントリでは、通常のIIDと同じ大きさ

は、

確率1で対称正定である

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— クリフAB

あなたの行列は、標準正規IIDエントリから引き出されている場合は、正定値である確率はおよそ $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ 、もしそうであれば例えば $N=5$ 、チャンスは1/1000で、かなりダウンその後高速。この質問の詳細な議論はここで見つけることができます。

行列の固有値分布がほぼWigner半円であり、これがゼロに関して対称であることを受け入れることにより、この答えを多少直観できます。固有値はすべて独立した場合は、必要があると思います $(1/2)^N$ このロジックによって正定性のチャンスを。実際には、固有値と固有値の大きな偏差、特に最小値と最大値を支配する法則との相関により、 $N^2$ 挙動が得られます。具体的には、ランダムな固有値は荷電粒子と非常に似ており、互いに近接することを好まないため、互いに反発します（荷電粒子と同じポテンシャル場で十分に不思議です、 $\propto 1/r$ 、ここで $r$ は隣接する固有値間の距離です）。したがって、全員に前向きであることを要求することは非常に難しい要求です。

また、ランダム行列理論の普遍性の法則のため、上記の確率 $p_N$ は、有限平均および標準偏差を持つiidエントリを含む、本質的にすべての「合理的な」ランダム行列に対して同じになる可能性が高いと思います。

— アレックス・R
ソース

それが非常に低いことを知ってうれしいです。そのため、今後はSPDマトリックスの作成に拒否サンプリングを使用しません。

— ハイタオデュ

@ hxd1011：SPDマトリックスをサンプリングしようとしている場合、上記のコメントで説明した方法をお勧めします。また、上に読んで役に立つかもしれコレスキー分解

— クリフAB

@CliffABありがとう。私は通常、いくつかのデータのSPD行列形式の共分散行列を生成するか、あなたが提案したものと同様の

から生成します。

な小さな行列にいくつかの数値を手動で入力しようとする時間がありましたが、それがPD行列であることを願っています。

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$

— ハイタオドゥ