Eloシステムを勝利のマージンが問題となるゲームに拡張するための一般原則

注意

私はこのサイトを初めて使用するユーザーであり、質問の範囲がどのように決まるかはわかりません。（例を尋ねるなどして）広範になりすぎないように、意識的に質問を一般原則に限定しました。

それでも、幅が広すぎる場合は、コメントで知らせて、それを絞り込む方法を提案してください。

質問

私は（チェスを通じて）Eloレーティングシステムとそれがどのように機能するかを知っています。基本的に、2人のプレーヤーの評価がわかっている場合は、両方のプレーヤーの予想スコアを計算し、実際のスコアに基づいて評価を調整できます。

しかし、このシステムが、勝利のマージンが問題となるゲームにどのように適応するのか、疑問に思いました。

具体的には、私は評価システムは、1つだけではなく、計算することができるように拡張することができるかと思いまし予想スコア だけでなく、勝敗の予想マージン 2選手/チームの評価を。

試合後の評価を調整する際には、システムが実際のスコアと実際の勝利のマージンを考慮することも期待します。

架空の例

実際の詳細は、ここで説明するものと同じである必要はありませんが、一般的な考え方は次のようになります。

チェルシーとマンシティのレーティングシステムが2000および2100であるレーティングシステムについて考えてみます。スコア（シティの場合は約0.64）だけでなく、勝利のマージンも予測できるレーティングシステムを探しています。

どういうわけか、評価によってマンチェスターシティの予想マージンが+3.2になり、チームが2-0で勝ったことを考慮すると、システムがシティの評価を下げて、十分に大きなマージンで勝てなかったと思います。

しかし、私は2つの変数（予想スコアと予想される勝利のマージン）が必要なのか、それとも1つ（予想スコア）が必要なのか疑問に思います。

要するに

Eloレーティングシステムを勝利のマージンが問題となるゲームに拡張するための一般的な原則と方法は何ですか？

rating

— ハリー・ウィーズリー
ソース

回答:

ELOの単純なバージョンは、ロジスティック回帰としてキャストできます。評価がプレーヤー、 $i,j$ $R_i,R_j$

P (i beats j) = \frac{1}{1 + \exp (β (R_{i} - R_{j}))} .

$P(i\mbox{ beats }j)=\frac{1}{1+\exp(\beta(R_i-R_j))}.$

したがって、ローレンツやガウスなどの別のリンク関数を使用することで、スコアを簡単に予測できます。

P (Game score = x) = a \exp (- α | β (R_{i} - R_{j}) - x |^{γ})

$P(\mbox{Game score}=x)=a\exp(-\alpha|\beta(R_i-R_j)-x|^\gamma)$ 、

ここで、ゲームのスコアは正（が有利）または負（が有利）のいずれかです。したがって、勝つ確率を計算する必要はなく、ゲームのスコアを直接最適化するだけです。 $i$ $j$

— アレックスR.
ソース

それは有望に聞こえます。予想される勝利のマージンは与えられ、は通常の。次に、。ここで、は実際の勝利のマージンです。定数とは、いくつかの実験で取得できると思います。

m_{e}

$m_e$

m_{e} = A (2 S_{e} - 1)

$m_e=A({2S_e}-1)$

S_{e}

$S_e$

(S_{e} = \frac{1}{1 + 10^{\frac{- d_{R}}{400}}})

$\left(S_e=\frac{1}{1+10^\frac{-d_R}{400}}\right)$

Δ R = K (m_{a} - m_{e})

$\Delta R=K(m_a-m_e)$

m_{a}

$m_a$

A

$A$

K

$K$

— ハリーウィーズリー

回答を編集して、ゲームの結果が判明した後に評価がどのように更新されるかについて少し詳しく説明してもらえますか？完全に理解できたかどうかわかりません。

— Harry

@HarryWeasley：新しいデータポイントでプレーヤー結果を更新する最も簡単な方法は、勾配降下法で損失関数を更新してを再計算することです。

(i, j)

$(i,j)$

R_{i}, R_{j}

$R_i,R_j$

— Alex R.

面倒で申し訳ありませんが、私は専門家ではないため、前回のコメントで使用した用語（特に「損失関数」と「勾配降下」）の一部を完全には理解していませんでした。同じことをもっと簡単に言い換えてもらえますか？:)

— Harry

@AlexR。βで表される関数は何ですか？

— user160104 2018年

そこにいくつかの作品は評価システムでの勝利のマージン（NFL用などFiveThirtyEight）を含むことが意図されているが、通常のシステムをランク付けする（例えばエロ、Glicko、または当社rankadeを -ここだ比較は）勝利のマージンを内蔵していません。

ほとんどのスポーツ/ゲームでは、勝利のマージンは重要ではありません。チェスの目標は、対戦相手のキングをチェックメイトすることです（これを行うことができるときに、自分と対戦相手がボードに何枚持っているかは関係ありません）。、または86-85、または90-23はチームに勝利をもたらします（スコアは関係ありません-ほとんど使用されていないタイブレーカーを除きます）。

チェルシーとマンシティのレーティングシステムが2000および2100であるレーティングシステムについて考えてみます。スコア（シティの場合は約0.64）だけでなく、勝利のマージンも予測できるレーティングシステムを探しています。どういうわけか、評価によってマンチェスターシティの予想マージンが+3.2になり、チームが2-0で勝ったことを考慮すると、システムがシティの評価を下げて、十分に大きなマージンで勝てなかったと思います。

ラグビーとは反対に、4回以上の得点で（わずかな）ボーナスを獲得します。サッカーシティでは、8-0で勝利しても同じ3ポイントを獲得します（4-0でリードしている間、シティコーチは最高の選手を望んでいます）次の試合のために休む...）勝利のマージンはかなり大きくなる可能性があります（チーム間に大きな違いがあることを示します）が、多くの理由でそれができなかった。そして、ゴールに勝つ（スコアに関係なく）構造では、「役に立たない」大きな勝利（チャンピオンシップランキングの場合は3ポイント）に報い、1の場合はポイントを差し引くランキングシステムを構築することはお勧めできません。ランキングの最後のチームで-0勝利（同じ3ポイント！）

結局のところ、予想以上の勝利に何らかの形で報酬を与えることができますが、十分なマージンで勝利しなかったチームを「罰する」ことはできません。彼らは勝ったので、彼らは彼らの仕事をしました。

確かに、勝利のマージンが問題となる（いくつかの）ゲームはありますが、サッカー（およびラウンドロビンまたはブラケットを使用するほぼすべてのスポーツ）はこのリストに含まれていません。

— とまそねり
ソース

回答いただきありがとうございます（+1）！私はそれが非常に有益であることを見つけ、そしてreeアルゴリズムのアイデアが好きでした。マージンが多くのゲームで取るに足らないものであることに私は同意しますが、私の質問はそれが実際に重要であるゲームについてでした。

— Harry

どういたしまして！rankadeで簡単に使用して（つまり、勝利のマージンを組み込んで）この問題を管理することができる量の機能（例えば正常体重通常の余裕、との試合のために半ば軽量、低マージンのため、重い高いマージン）、同調点の報酬（なりますがとにかく、常に勝者に与えられます）。

— トマソネリ