期待値演算子内でテイラー近似を使用する理由は何ですか？

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私は時々人々が次のようにテイラー近似を使用するのを見ます：

E (e^{x}) \approx E (1 + x)

$E(e^x)\approx E(1+x)$

テイラー近似が機能することを知ってい

e^{x} \approx 1 + x

$e^x \approx 1+x$

しかし、期待演算子の中で近似を行うことができるかどうかは、はっきりしません。直感的には、「が0よりもはるかに大きい確率が小さい」場合に機能すると思いますが、これがどれほど厳密かはわかりません。 $x$

編集：私たちは関数に期待があるとき、私はさらに混乱しています：

E (f (e^{x})) \overset{?}{\approx} E (f (1 + x))

$E(f(e^x))\overset ?\approx E(f(1+x))$

expected-value approximation

— ユーザー56834
ソース

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@repmat、それはまったく真実ではありません。線形性は、関数演算子と期待演算子の間の可換性を意味しません

— user56834 '31

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特定の例では、中心とする1次テイラー近似なので、 $x_0=0, e^x = e^0 +e^0x+R_1 = 1+x+R_1$

E (e^{x}) = E (1 + x) + E (R_{1})

$E(e^x) = E(1+x) + E(R_1)$

したがって、問題は「について何が言えるか」ということです。さて、テイラー近似について、つまり残りの動作について、知りたいことはあまり知りません。 $E(R_1)$

残りの部分が危険なものである理由のこの例を参照してください。また、非常に刺激的なスレッドである、テイラーシリーズの期待（特に残りの部分）について読むことをお勧めします。

線形回帰の興味深い結果は次のとおりです。真の非線形モデルがあると仮定します

y_{i} = m (x_{i}) + e_{i}

$y_i = m(\mathbf x_i) + e_i$

ここで、は条件付き期待関数であり、なので、構成によってです。 $m(\mathbf x_i)$ $E(y_i\mid \mathbf x_i) = m(\mathbf x_i)$ $E(e_i \mid \mathbf x_i) = 0$

特に周りの1次テイラー近似を考えます。 $E(\mathbf x_i)$

y_{i} = β_{0} + x_{i}^{'} β + u_{i}, u_{i} = R_{1 i} + e_{i}

$y_i = \beta_0+\mathbf x_i'\beta + u_i, \;\;\;u_i = R_{1i} + e_i$

ここで、は近似のテイラー剰余です。ベータは、で評価されるに関する非線形関数の偏微分であり、定数項は他のすべてを収集します近似の修正されたもの（ところで、これがa）「常に仕様に定数を含める」と言われているが、b）定数はほとんどの場合意味のある解釈を超えている）理由です。 $R_{1i}$ $\mathbf x_i$ $E(\mathbf x_i)$

次に、通常の最小二乗推定を適用すると、テイラー剰余が回帰変数に正解されないことがわかります。E、およびまた、です。最初の結果は、ベータのOLS推定量の特性が、非線形関数を1次のテイラー近似で近似したという事実の影響を受けないことを意味します。2番目の結果は、条件付き期待値が最適な予測子である同じ基準（平均二乗誤差、ここでは平均二乗剰余）で近似が最適であることを意味します。 $E(R_{1i}\mathbf x_i) = E(R_{1i})E(\mathbf x_i)$ $E(R_{1i}^2) = \min$

これらの結果には両方の前提が必要です。つまり、リグレッサの期待値を中心にテイラー展開を行い、OLSを使用することです。

— アレコスパパドプロス
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これが使用される1つの状況は、漸近的です。

たとえば、、が滑らかな関数であるとします。次に、ここで、は、分布の収束（法の収束とも呼ばれる）を意味します。実際には、展開の高次項を削除していますそしてそれをとして扱う一つの書き込みの $\dfrac{X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$ $g$

\frac{g (X_{n}) - g (μ)}{| g^{'} (μ) | σ / \sqrt{n}} \overset{L}{⟶} N (0, 1) as n \to \infty,

$\frac{g(X_n)-g(\mu)}{\left|g'(\mu)\right|\sigma/\sqrt n} \overset{\mathcal L} \longrightarrow N(0,1) \text{ as } n\to\infty,$

“ \overset{L}{⟶}''

$\text{“} \overset{\mathcal L} \longrightarrow \text{''}$

g (x) = g (μ) + g^{'} (μ) (x - μ) + \frac{g^{″} (μ)}{2} (x - μ)^{2} + \frac{g^{‴} (μ)}{6} (x - μ)^{3} + \dots

$g(x) = g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu) + \frac{g''(\mu)} 2 (x-\mu)^2 + \frac{g'''(\mu)} 6 (x-\mu)^3 + \cdots$

g (x) \approx g (μ) + g^{'} (μ) (x - μ) .

$g(x) \approx g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu).$

g (X_{n}) \sim A N (g (μ), \frac{g^{'} (μ)^{2} σ^{2}}{n})

$g(X_n) \sim AN\left( g(\mu), \frac{g'(\mu)^2\sigma^2} n \right)$

“ A N''

$\text{“}AN\text{''}$ は「漸近的に正常」を意味します。

— マイケル・ハーディ
ソース

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これが質問に答えるとは思いません。あなたは単にその近似が行われた例を報告しているだけであり、それが正当な理由を説明していません。

— Federico Poloni 2017