二項分布のサンプル平均とサンプル分散の独立性

ましょ。およびことがわかります。これは、その意味するものではないサンプルの平均し、標本分散ある依存 $X\sim\mathrm{Binomial}(n,p)$ $\mathrm{E}[X]=np$ $\mathrm{Var}[X]=np(1-p)$ $\bar x$ $s^2$ お互いの？それとも、単に母集団分散が母集団平均の関数として記述できることを意味するのでしょうか？

distributions binomial independence

— ユーザー6874652
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回答:

と確率変数です。私たちは彼らの共同配布を計算することができます。二項分布からのサイズサンプルの最も単純な非自明なケースを試してみましょう。そのサンプルには4つの可能性しかないため、ここではそれらの確率（2つのサンプル要素の独立性から計算されます）とともに表にしています。 $\bar x$ $s^2$ $2$ $(1,p)$

First value | Second value | Mean | Variance | Probability
          0 |            0 |    0 |        0 | (1-p)^2
          0 |            1 |  1/2 |      1/2 | (1-p)p
          1 |            0 |  1/2 |      1/2 | p(1-p)
          1 |            1 |    1 |        0 | p^2

この例では、平均は分散を完全に予測します。したがって、すべての確率がゼロでない（つまり、がでもでもない）場合、サンプルの平均と分散は独立していません。 $p$ $0$ $1$

興味深い質問は、分布のファミリーで平均が分散を決定する場合、サンプルの平均とサンプルの分散が独立できるかどうかです。答えはイエスです：分散は、このような全ての通常のセットとして平均値に依存する正規分布のいずれかの家族取る分布を。これらの分布のどれがサンプルを管理するかに関係なく、サンプルの平均とサンプルの分散は独立しています。これは、正規分布の場合に当てはまるためです。 $(\mu, \mu^2)$

この分析は、分布のファミリーの構造（、、などに関係する）に関する質問は、サンプルの統計がファミリーの任意の要素から独立しているという質問には関係がないことを示唆しています。 $n$ $p$ $\mu$

— whuber
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しかし、それは正規分布が「特別な」ケースであるからでしょうか？つまり、正規分布の場合、標本平均が標本分散とは無関係であることは事実です。しかし、正規分布ではない分布を扱っている場合はどうなりますか？

— user6874652

通常、サンプル平均とサンプル分散は独立していません。ディストリビューションの一部であるディストリビューションのファミリーに違いはありません。

— whuber

N (μ, σ^{2})

$N(\mu, \sigma^2)$

@マイケルありがとう。私はすでに答えの本文でそれを指摘しました。

— whuber

@whuber：分析ありがとうございます。Rコードも公開していただけませんか？どうもありがとう。

— Maximilian、

iid標本の場合、標本平均と標本分散が独立しているという特性は、正規分布の特性です。他の分布では、そのような特性は保持されません。

Patel、JK、＆Read、CB（1982）を参照してください。正規分布のハンドブック、p。1982年第1版の「特性評価」の章の81（1996年の第2版のページが変更されている可能性があります）。

したがって、他の分布の場合、標本平均と標本分散は統計的に依存します。

3dまでのモーメントを持つ任意の分布のiidサンプルからのサンプル平均とサンプル分散に関する一般的な結果は、次のとおりです（分散に不偏推定量を使用）。

Cov (\bar{X}, s^{2}) = E (\bar{X} s^{2}) - E (x) Var (x) = \frac{1}{n} E [X - E (x)]^{3}

$\operatorname{Cov} (\bar X, s^2) = E(\bar X s^2) - E(x)\operatorname{Var}(x) = \frac 1n E[X-E(x)]^3$

$n$

1）サンプルサイズが大きくなると、2つは無相関になる傾向があります。

2）については、任意のそれらは通常以外のすべてのディストリビューションのために、依存性のままであるが、ゼロに等しい第3の中心モーメントを有する分布、それらは）（無相関です。もちろん、これには平均について対称なすべての分布が含まれますが、平均に関して非対称であるが3番目の中心モーメントがゼロに等しい他の分布も含まれます。このスレッドを参照してください。

— アレコスパパドプロス
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（+1）ハイパーリンクは私にとって死んでいます。

— COOLSerdash 2017

@COOLSerdashそれは私のために働きます。アマゾンのページにリンクしていますが、ブロックされているのでしょうか？

— Graipher 2017

@COOLSerdashありがとう。前述のように、ハイパーリンクは有効なようです。「正規分布ハンドブックPatel Read」で検索してください。

— Alecos Papadopoulos 2017

（+1）これが事実であるかもしれないと私は疑ったが、この事実の正式な声明を見たことがない。標本平均と標本分散が無相関である非正規分布はありますか？

— ジョンコールマン

@AlecosPapadopoulosはい、もちろん。もしそうなら、無相関が独立を意味しない場合の興味深い例になります。詳細のすべてを調べたわけではありませんが、うまくいったU(0,1)ようです。

— John Coleman

$\operatorname{Bernoulli}(p) = \operatorname{Binomial}(1,p).$ $N:$

\begin{aligned} N s^{2} = \sum_{k = 1}^{N} (x_{k} - \bar{x})^{2} = & (\sum_{k} x_{k}^{2}) - (2 \bar{x} \sum_{i} x_{k}) + (N {\bar{x}}^{2}) \\ = & (\sum_{k} x_{k}) - 2 \bar{x} \sum_{k} x_{k} + (n {\bar{x}}^{2}) \\ since x_{k} = 0 or 1, so x_{k}^{2} = x_{k} \\ = & N \bar{x} - 2 N {\bar{x}}^{2} + N {\bar{x}}^{2} \\ = & N \bar{x} (1 - \bar{x}), \\ so s^{2} = & \bar{x} (1 - \bar{x}) . \end{aligned}

$\begin{align} Ns^2 = \sum_{k=1}^N (x_k - \overline x)^2 = {} & \left( \sum_k x_k^2 \right) - \left( 2\overline x \sum_i x_k \right) + \left( N\overline x^2 \right) \\[10pt] = {} & \left( \sum_k x_k \right) - 2\overline x \sum_k x_k + \left( n\overline x^2 \right) \\ & \text{since $x_k = 0$ or $1$, so $x_k^2=x_k$} \\[12pt] = {} & N\overline x - 2N\overline x^2 + N \overline x^2 \\[10pt] = {} & N \overline x(1-\overline x), \\[10pt] \text{so } s^2 = {} & \overline x(1-\overline x). \end{align}$

n

$n$

1,

$1,$

\bar{x}

$\overline x$

\bar{x} (1 - \bar{x}) .

$\overline x(1-\overline x).$

$np$ $n(1-p)$

— マイケル・ハーディ
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