単純なカイ二乗検定の代わりとしてglm（）を使用する

glm()R を使用して帰無仮説を変更することに興味があります。

例えば：

x = rbinom(100, 1, .7)  
summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))

という仮説をテストします。nullを =何らかの任意の値に変更したい場合はどうすればよいですか？ $p = 0.5$$p$glm()

これはprop.test()and でも実行できることはわかっていますが、カテゴリデータに関連するすべての仮説をテストchisq.test()するために使用glm()するアイデアを探求したいと思います。

あなたが使用することができ、オフセット：glmを有するfamily="binomial"対数オッズ又はロジットスケールに推定するパラメータ、 0または0.5の確率オッズをログに記録する対応します。pの確率と比較する場合は、ベースライン値をq = logit（p ）= log （p /（1 − p ））にする必要があります。統計モデルは$\beta_0=0$$p$$q = \textrm{logit}(p)=\log(p/(1-p))$

最後の行のみが標準セットアップから変更されています。Rコードの場合：

• offset(q)式で使用する
• logit / log-odds関数は qlogis(p)
• 少し面倒なことに、応答変数の各要素にオフセット値を指定する必要があります-Rは定数値を自動的に複製しません。これは、データフレームを設定することで以下で実行されますが、単に使用することもできますrep(q,100)。

x = rbinom(100, 1, .7)
dd <- data.frame(x, q = qlogis(0.7)) 
summary(glm(x ~ 1 + offset(q), data=dd, family = "binomial"))

GLMのパラメーターの信頼区間を確認します。

> set.seed(1)
> x = rbinom(100, 1, .7)
> model<-glm(x ~ 1, family = "binomial")
> confint(model)
Waiting for profiling to be done...
    2.5 %    97.5 % 
0.3426412 1.1862042 

これは、対数オッズの信頼区間です。

以下のために我々はログ（O D D S ）= ログ$p=0.5$。したがって、p=0.5という仮説をテストすることは、信頼区間に0が含まれているかどうかをチェックすることと同等です。これはそうではないため、仮説は棄却されます。$\log(odds) = \log \frac{p}{1-p} = \log 1 = 0$$p=0.5$

これで、任意の、対数オッズを計算し、信頼区間内にあるかどうかを確認できます。$p$

仮説検定としてglm.summary関数のz / t値に基づいたp値を使用することは（完全に）正確ではありません。

1. 紛らわしい言語です。報告された値はz値と呼ばれます。ただし、この場合、真の偏差の代わりに推定標準誤差を使用します。したがって、実際には、それらはt値に近くなります。次の3つの出力を比較します
   。1）summary.glm
   2）t検定
   3）z検定

   > set.seed(1)
   > x = rbinom(100, 1, .7)
   
   > coef1 <- summary(glm(x ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),length(x)), family = "binomial"))$coefficients
   > coef2 <- summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))$coefficients
   
   > coef1[4]  # output from summary.glm
   [1] 0.6626359
   > 2*pt(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),99,ncp=0) # manual t-test
   [1] 0.6635858
   > 2*pnorm(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),0,1) # manual z-test
   [1] 0.6626359

2. それらは正確なp値ではありません。二項分布を使用したp値の正確な計算は、よりうまく機能します（最近の計算能力では、これは問題ではありません）。誤差のガウス分布を仮定したt分布は正確ではありません（pを過大評価し、アルファレベルを超えることは「現実」ではあまり起こりません）。次の比較を参照してください。

   # trying all 100 possible outcomes if the true value is p=0.7
   px <- dbinom(0:100,100,0.7)
   p_model = rep(0,101)
   for (i in 0:100) {
     xi = c(rep(1,i),rep(0,100-i))
     model = glm(xi ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),100), family="binomial")
     p_model[i+1] = 1-summary(model)$coefficients[4]
   }
   
   
   # plotting cumulative distribution of outcomes
   outcomes <- p_model[order(p_model)]
   cdf <- cumsum(px[order(p_model)])
   plot(1-outcomes,1-cdf, 
        ylab="cumulative probability", 
        xlab= "calculated glm p-value",
        xlim=c(10^-4,1),ylim=c(10^-4,1),col=2,cex=0.5,log="xy")
   lines(c(0.00001,1),c(0.00001,1))
   for (i in 1:100) {
     lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i+1]),1-c(cdf[i+1],cdf[i+1]),col=2)
   #  lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i]),1-c(cdf[i],cdf[i+1]),col=2)
   }
   
   title("probability for rejection as function of set alpha level")

   

   黒い曲線は平等を表します。赤い曲線はその下にあります。つまり、glmサマリー関数によって計算された特定のp値に対して、p値が示すよりも実際にはこの状況（または大きな差）の頻度が低いことがわかります。